Chủ đề này có 6 trả lời

[nguyenqn1998]

cho a,b,c>0 thõa mản: a^2+b^2+c^2=1

CMR: $\sum {\sqrt{a^2+1}} \geq \sqrt{12}$

[nhjm nhung]

nhầm dấu phải không bạn ??

[nghiemthanhbach]

cho a,b,c>0 thõa mản: a^2+b^2+c^2=1

CMR: $\sum {\sqrt{a^2+1}} \geq \sqrt{12}$

 

cho a,b,c>0 thõa mản: a^2+b^2+c^2=1

CMR: $\sum {\sqrt{a^2+1}} \geq \sqrt{12}$

Không nhầm dấu đâu bạn

Áp dụng bất đẳng thức buhiacopsky ta có:

$\sqrt{(a^2+1)(\frac{1}{3}+1)}\geq \frac{a}{\sqrt{3}}+1$

Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta có:

$\sqrt{\frac{4}{3}}\sum \sqrt{a^2+1}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}+3\geq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+3\rightarrow \sum \sqrt{a^2+1}\geq \frac{4}{(\sqrt{\frac{4}{3}})}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}$

Chắc ai cũng thắc mắc phần giữa 

Thật vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ:

Với $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh $a+b+c\geq \sqrt{3}$ thì ta sẽ có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 30-10-2013 - 22:51

[nhjm nhung]

Ta có: $\sqrt{a^{2}+1}= \frac{\sqrt{3}}{4}.2\sqrt{(a^{2}+1).\frac{4}{3}}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(a^{2}+\frac{7}{3})$ ( theo AM-GM)

Tương tự : $\sqrt{b^{2}+1}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(b^{2}+\frac{7}{3})$

                  $\sqrt{c^{2}+1}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(c^{2}+\frac{7}{3})$

Cộng theo vế: $VT \leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(a^{2}+b^{2}+c^{2}+7)=\frac{\sqrt{3}}{4}.8=\sqrt{12}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhjm nhung: 30-10-2013 - 22:57

[kfcchicken98]

Không nhầm dấu đâu bạn

Áp dụng bất đẳng thức buhiacopsky ta có:

$\sqrt{(a^2+1)(\frac{1}{3}+1)}\geq \frac{a}{\sqrt{3}}+1$

Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta có:

$\sqrt{\frac{4}{3}}\sum \sqrt{a^2+1}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}+3\geq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+3\rightarrow \sum \sqrt{a^2+1}\geq \frac{4}{(\sqrt{\frac{4}{3}})}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}$

Chắc ai cũng thắc mắc phần giữa 

Thật vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ:

Với $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh $a+b+c\geq \sqrt{3}$ thì ta sẽ có điều phải chứng minh

bất đẳng thức phụ bị ngược dấu
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$
suy ra$1\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$
suy ra$\sqrt{3}\geq a+b+c$

[kfcchicken98]

cho a,b,c>0 thõa mản: a^2+b^2+c^2=1

CMR: $\sum {\sqrt{a^2+1}} \geq \sqrt{12}$

$\sum \sqrt{a^{2}+1}\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)}=\sqrt{12}$

[nguyenqn1998]

sr máy bạn thật ra mình làm bài HSG vĩnh phúc biến đổi đền bdt mình vừa nêu ở trên mà bị ngược dấu nên dẫn đến đề sai. Mấy bạn thông cảm