Chủ đề này có 2 trả lời

[AnnieSally]

VÒNG $1$

Ngày thi: 15/10/2013

 

Câu 1. (4 điểm)

1. Tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn $\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} + x\sqrt[3]{x^2} \right)^n$ biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là $a_0 + a_1 +... + a_n = 4096$.

 

2. Cho phương trình $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng phương trình có $3$ nghiệm phân biệt.

 

Câu 2. (4 điểm)

1. Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên và $n \ge 1$ thì:

$$\left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} > \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n$$

2. Tìm giới hạn sau:

$$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin^{m+n+p}{x}}{\sqrt[3] {\left(1- \sin^m{x} \right) \left( 1- \sin^n{x} \right) \left( 1- \sin^p{x}\right) }}$$

Với $m,n,p \in \mathbb{N}^{*}$

 

Câu 3. (4 điểm)

Cho hàm số : $y= \dfrac{x^4}{2} - 3x^2 + \dfrac{5}{2} (C)$ và điểm $M \in$ $($$C$$)$ có hoành độ $x_M = a$. Với giá trị nào của $a$ thì tiếp tuyến của $($$C$$)$ tại $M$ cắt $($$C$$)$ ở 2 điểm phân biệt khác $M$.

 

Câu 4. (4 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA = h$ và $SA \perp (ABCD)$. $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $CD$. Đặt $CM = x$.

 

1. Hạ $SH \perp BM$. Tính $SH$ theo $a, h$ và $x$.

 

2. Xác định vị trí của $M$ để thể tích tứ diện $SABH$ đại giá trị lớn nhất. Tìm GTLN đó.

 

Câu 5. (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ biết $\sin{A}^2 + \sin{B}^2 = k \sin{C}^2$ với $k > \dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sin C$.

--- Hết ---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 07-11-2013 - 21:19

[E. Galois]

Câu 3. (4 điểm)

Cho hàm số : $y=f(x)= \dfrac{x^4}{2} - 3x^2 + \dfrac{5}{2} (C)$ và điểm $M \in$ $($$C$$)$ có hoành độ $x_M = a$. Với giá trị nào của $a$ thì tiếp tuyến của $($$C$$)$ tại $M$ cắt $($$C$$)$ ở 2 điểm phân biệt khác $M$.

 

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và tiếp tuyến của nó tại $M$ là:

$$f(x)-f'(a)(x-a)-f(a)=0$$

$$\Leftrightarrow (x-a)^2\left ( \frac{x^2}{2}+ax+\frac{3a^2}{2}-3 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow \x=a; \frac{x^2}{2}+ax+\frac{3a^2}{2}-3 = 0 \text{  (1)}$$

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $a$. Điều này tương đương với:

$$\left\{\begin{matrix}\Delta = 6-2a^2 > 0 \\\frac{a^2}{2}+a^2+\frac{3a^2}{2}-3 \neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a \in \left ( -\sqrt 3;\sqrt 3 \right ) \setminus \left \{ -1;1 \right \}$$

[kfcchicken98]

bai2,2 $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi }{2}}\frac{1-\sin ^{m+n+p}x}{\sqrt[3]{(1-\sin ^{m}x)(1-\sin ^{n}x)(1-\sin ^{p}x)}}= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{-(m+n+p)\sin ^{m+n+p-1}x\cos x}{\sqrt[3]{(-m\sin ^{m-1}\cos x)(-n\\sin ^{n-1}x)\cos x(-p\sin ^{p-1}x)\cos x}}= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{(m+n+p)\sin ^{m+n+p-1}x}{\sqrt[3]{m.n.p\sin ^{m+n+p-3}x}}$
đặt $y=\frac{\pi }{2}-x$

$\lim_{y\rightarrow 0}\frac{(m+n+p)\cos ^{m+n+p-1}y}{\sqrt[3]{m.n.p\cos ^{m+n+p-3}y}}= \frac{m+n+p}{\sqrt[3]{m.n.p}}$