Chủ đề này có 7 trả lời

[AnnieSally]

$\boxed{1}$ Kể từ thời Trung Cổ, $2013$ là năm đầu tiên chứa bốn số liên tiếp nhau. Hỏi có bao nhiêu năm như vậy, kể từ năm $2013$ đến trước năm $10000$ ?

$\boxed{2}$ Tìm tất cả các cặp $(A,B)$ trong đó $A$ là số có $2$ chữ số, $B$ là số có $3$ chữ số thỏa mãn $A$ tăng lên $B$% sẽ bằng $B$ giảm $A$%.

$\boxed{3}$ Cho tam giác nhọn $ABC$, $AD$ là đường cao từ $A$ hạ xuống $BC$. Đường thẳng $l$ đi qua $D$ song song $AB$, $t$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $A$. Gọi $E$ là giao điểm của $l$ và $t$.  Chứng minh $CE$ vuông góc với $t$.

$\boxed{4}$ Tìm tất cả các đa thức $f,g$ có hệ số thực thỏa mãn:

$$x^2g(x)=f(g(x))$$

$\boxed{5}$ Đặt một số đồng xu lên bảng có $20\times 13$ ô. Hai đồng xu được gọi là láng giềng nếu chúng được đặt cùng hàng hoặc cột và giữa chúng không có đồng xu nào. Hỏi số đồng xu lớn nhất có thể đặt lên bảng sao cho không đồng xu nào có hơn 2 đồng xu láng giềng?

 

$\boxed{6}$ Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AC\neq BC$, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ABC$ và $F$ là chân đường cao hạ từ $C$. Kéo dài $CO$, ta hạ đường cao $AX$ và $BY$. $FO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $FXY$ tại điểm thứ $2$ là $P$. Chứng minh rằng: $OP<OF$.

 

Translate by funcalys

[LNH]

$\boxed{4}$ Tìm tất cả các đa thức $f,g$ có hệ số thực thỏa mãn:

$$x^2g(x)=f(g(x))$$

Đặt $degf\left ( x \right )=a$, $degg\left ( x \right )=b$

Theo giả thiết, ta có: $b+2=ab$

$\Leftrightarrow b\left ( a-1 \right )=2$

Suy ra $a=2,b=2$ hoặc $a=3,b=1$

Từ đây khai triển rồi dùng đồng nhất hệ số, ta sẽ có đa thức cần tìm là $\left ( \frac{x^2-bx}{a},ax^2+b \right )$, $\left ( \frac{x\left ( x-b \right )^2}{a^2},ax+b \right )$

[LNH]

$\boxed{5}$ Đặt một số đồng xu lên bảng có $20\times 13$ ô. Hai đồng xu được gọi là cùng chung lân cận nếu chúng được đặt cùng hành hoặc cột và giữa chúng không có đồng xu nào. Hỏi số đồng xu lớn nhất có thể đặt lên bảng sao cho không có đồng xu nào có nhiều hơn $2$ đồng xu lân cận ?

Gọi $n$ là số đồng xu, $x_i$ là số mối quan hệ hàng xóm ở viên bi thứ $i$, $r_i$ là số bi ở hàng thứ $i$, $c_i$ là số bi ở cột thứ $i$

Ta có: $\sum_{i=1}^{20}c_i=\sum_{i=1}^{13}r_i=n$

Ta sẽ đếm số mối quan hệ hàng xóm giữa hai đồng xu bằng $2$ cách:

Cách 1: Vì mỗi viên bi chỉ có thể có tối đa $2$ đồng xu lân cận nên $2n\geq \sum_{i=1}^{n}x_i$

Cách 2: Dễ thấy số mối quan hệ hàng xóm trên hàng $i$ không nhỏ hơn $2\left ( r_i-1 \right )$, số mối quan hệ hàng xóm trên một cột không nhỏ hơn $2\left ( c_i-1 \right )$ nên ta có:

$\sum_{i=1}^{n}x_i \geq 4n-66$

Suy ra $2n\geq 4n-66$

$\Leftrightarrow n\leq 33$

Ta có thể xây dựng cấu hình với $n=33$ bằng cách cho đầy đồng xu ở một cột và một hàng bất kì, sau đó đặt một đồng xu ở một trong các góc còn trống

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 02-11-2013 - 05:08

[AnnieSally]

$\boxed{1}$

$\boxed{2}$

$\boxed{3}$

$\boxed{4}$

$\boxed{5}$

$\boxed{6}$

[dkhanhht98]

$\boxed{3}$ Cho tam giác nhọn $ABC$, $AD$ là đường cao từ $A$ hạ xuống $BC$. Đường thẳng $l$ đi qua $D$ song song $AB$, $t$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $A$. Gọi $E$ là giao điểm của $l$ và $t$.  Chứng minh $CE$ vuông góc với $t$.

Câu 3 hình không khó:

 

Ta có $\widehat{BAt}=\widehat{AED}=\widehat{ACB}\Rightarrow$ tứ giác AECD nội tiếp

         $\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{ADC}=90^o\Rightarrow CE\perp t$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dkhanhht98: 03-11-2013 - 14:26

[dkhanhht98]

Đề câu 6 không rõ ràng: Ai sửa lại hay post hình vẽ giùm.

[thinhrost1]

Câu 1 hay quá nè có ai giải không?

[hoangtrong2305]

$\boxed{1}$ Kể từ thời Trung Cổ, $2013$ là năm đầu tiên chứa bốn số liên tiếp nhau. Hỏi có bao nhiêu năm như vậy, kể từ năm $2013$ đến trước năm $10000$ ?

Ta có thể đơn giản hóa bài này thành $1$ bài tổ hợp

 

Cho tập $A=\begin{Bmatrix} 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 \end{Bmatrix}$, hỏi có bao nhiêu cách thành lập các số có $4$ chữ số trong phạm vi từ $2014$ đến $9999$ sau cho $4$ chữ số này liên tiếp nhau (không nhất thiết $4$ chữ số này phải theo thứ tự ) ?

 

Bài giải

 

Giả sử số cần tìm dạng $\overline{abcd}$

 

Trường hợp 1: Xét $4$ giá trị $0;1;2;3$

 

- TH 1.1: Giả sử $a=2,b=0$

  $\Rightarrow c=3;d=1$ mới thỏa yêu cầu đề

 

Vậy TH 1.1 có $1$ cách chọn

 

- TH 1.2: Giả sử $a=2,b\neq 0$

$b$ có $2$  cách chọn

$c,d$ có $2!=2$ cách chọn

 

Vậy TH 1.2 có $2 \times 2=4$ cách chọn

 

- TH 1.3: Giả sử $a\neq 2$

 

Chọn $a$ có $1$ cách

Các số $b,c,d$ có $3!=6$ cách

 

Vậy TH 1.3: có $1 \times 6=6$ cách

Vậy trường hợp 1 có $1+4+6=11$ cách chọn

 

 

Trường hợp 2: Xét $4$ giá trị $1;2;3;4$

 

- TH 2.1: Giả sử $a=2$

Các giá trị $b,c,d$ có $3!=6$ cách

 

Vậy TH 2.1 có $1 \times 6=6$ cách

 

- TH 2.2: Giả sử $a\neq 2$

Chọn $a$ có 2 cách

Các giá trị $b,c,d$ có $3!=6$ cách

 

Vậy TH 2.2 có $2 \times 6=12$ cách

Vậy trường hợp 2 có $6+12=18$ cách chọn

 

 

Trường hợp 3: Xét $4$ giá trị $2;3;4;5$

 

- TH 3.1: Giả sử $a=2$

Các giá trị $b,c,d$ có $3!=6$ cách

 

Vậy TH 3.1 có $1 \times 6=6$ cách

 

- TH 3.2: Giả sử $a\neq 2$

Chọn $a$ có 3 cách

Các giá trị $b,c,d$ có $3!=6$ cách

 

Vậy TH 3.2 có $3 \times 6=18$ cách

Vậy trường hợp 2 có $6+18=24$ cách chọn

 

Trường hợp 4: Xét $B=\begin{Bmatrix} 3;4;5;6;7;8;9 \end{Bmatrix}$ là tập con của $a$

 

Chọn ngẫu nhiên $4$ số liên tiếp, sau đó hoán vị $4$ số vừa chọn: có $4 \times 4!=96$

 

Vậy sau $4$ trường hợp có $11+16+24+96=149$ cách.

 

Vậy có $149$ năm kể từ năm $2013$ đến trước năm $10000$ chứa bốn số liên tiếp nhau.