Chủ đề này có 5 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thoả :

$\left\{\begin{matrix} f(1)=2 & \\ f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1(x,y\in \mathbb{Q}) & \end{matrix}\right.$

Các bạn cho mình hỏi, những dấu hiệu nào để biết áp dụngnquy nạp giải pth?

[namcpnh]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thoả :

$\left\{\begin{matrix} f(1)=2 & \\ f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1(x,y\in \mathbb{Q}) & \end{matrix}\right.$

Các bạn cho mình hỏi, những dấu hiệu nào để biết áp dụngnquy nạp giải pth?

 

Hầu hết các bài PTH trên các tập số khác thực đều phải dùng quy nạp.

 

Bài này thì : 

 

Chọn $y=1$ ta có : $f(x+1)=f(x)+1$ (1)

 

Quy nạp CM đc $f(x+n)=f(x)+n, n\in \mathbb{Z}$.

 

Thay $x=y=\frac{p}{q}+q$ vào và dùng (1) với $f(x^2)=f^2(x)-f(2x)+1$ ta được $f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$

 

Vậy $f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{Q}$.

 

Bạn xem lại bài này có đúng đề ko?

[Tran Hoai Nghia]

Hầu hết các bài PTH trên các tập số khác thực đều phải dùng quy nạp.

 

Bài này thì : 

 

Chọn $y=1$ ta có : $f(x+1)=f(x)+1$ (1)

 

Quy nạp CM đc $f(x+n)=f(x)+n, n\in \mathbb{Z}$.

 

Thay $x=y=\frac{p}{q}+q$ vào và dùng (1) với $f(x^2)=f^2(x)-f(2x)+1$ ta được $f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$

 

Vậy $f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{Q}$.

 

Bạn xem lại bài này có đúng đề ko?

Đề đúng rồi đó.

MÌnh có một chút thắc mắc ở chỗ trên đó:

Theo bạn thì: $f(x^2)=f^2(x)-f(2x)+1$(1) như pt bạn đầu thì đúng rồi.

Nhưng khi thay  $x=\frac{p}{q}+q$ và (1) thì: 

$(1)\Leftrightarrow f(p^{2}+2p+q^{2})=f^{2}(\frac{p}{q}+q)-f(\frac{2p}{q}+2q)+1$

Theo $f(x+n)=f(x)+n$ thì:

$f(\frac{p}{q}+q)=f(\frac{p}{q})+q$

$f(\frac{2p}{q}+2q)=f(\frac{2p}{q})+2q$

$f((\frac{p}{q}+q)^{2})=f(\frac{p^{2}}{q^{2}}+2p+q^{2})=f(\frac{p^{2}}{q^{2}})+2p+q^{2}$

Vậy thì (1) trở thành: $f((\frac{p}{q}+q)^{2})=(f(\frac{p}{q})+q)^{2}-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

$\Leftrightarrow f(\frac{p^{2}}{q^{2}})+2p+q^{2} =(f(\frac{p}{q})+q)^{2}-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

$\Leftrightarrow f(\frac{p^{2}}{q^{2}})+2p=f^{2}(\frac{p}{q})+2pf(\frac{p}{q})-2f(\frac{p}{q})+2$

Mình chẳng thấy nó ra $f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$

À, sao từ đầu không chứng minh $f(x)=x+1$ bằng quy nạp?   .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 07-11-2013 - 15:08

[namcpnh]

Đề đúng rồi đó.

MÌnh có một chút thắc mắc ở chỗ trên đó:

Theo bạn thì: $f(x^2)=f^2(x)-f(2x)+1$(1) như pt bạn đầu thì đúng rồi.

Nhưng khi thay  $x=\frac{p}{q}+q$ và (1) thì: 

$(1)\Leftrightarrow f(p^{2}+2p+q^{2})=f^{2}(\frac{p}{q}+q)-f(\frac{2p}{q}+2q)+1$

Theo $f(x+n)=f(x)+n$ thì:

$f(\frac{p}{q}+q)=f(\frac{p}{q})+q$

$f(\frac{2p}{q}+2q)=f(\frac{2p}{q})+2q$

$f((\frac{p}{q}+q)^{2})=f(\frac{p^{2}}{q^{2}}+2p+q^{2})=f(\frac{p^{2}}{q^{2}})+2p+q^{2}$

Vậy thì (1) trở thành: $f((\frac{p}{q}+q)^{2})=(f(\frac{p}{q})+q)^{2}-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

$\Leftrightarrow f(\frac{p^{2}}{q^{2}})+2p+q^{2} =(f(\frac{p}{q})+q)^{2}-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

$\Leftrightarrow f(\frac{p^{2}}{q^{2}})+2p=f^{2}(\frac{p}{q})+2pf(\frac{p}{q})-2f(\frac{p}{q})+2$

Mình chẳng thấy nó ra $f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$

À, sao từ đầu không chứng minh $f(x)=x+1$ bằng quy nạp?   .

 

Bạn CM thử xem, mình không làm được  .

 

$f((\frac{p}{q}+q)^2)=f^2(\frac{p}{q}+q)-f(\frac{2p}{q}+2q)+1$

 

<=> $f((\frac{p}{q})^2+2p+q^2)=f^2(\frac{p}{q})+2qf(\frac{p}{q})+q^2-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

 

<=> $f((\frac{p}{q})^2)+2p+q^2=f^2(\frac{p}{q})+2qf(\frac{p}{q})+q^2-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

 

<=> $f^2(\frac{p}{q})-f(2\frac{p}{q})+1+2p+q^2=f^2(\frac{p}{q})+2qf(\frac{p}{q})+q^2-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

 

<=> $2qf(\frac{p}{q})=2p+2q$

 

<=> $f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$ 

 

OK rồi.

[Tran Hoai Nghia]

Bạn CM thử xem, mình không làm được  .

 

$f((\frac{p}{q}+q)^2)=f^2(\frac{p}{q}+q)-f(\frac{2p}{q}+2q)+1$

 

<=> $f((\frac{p}{q})^2+2p+q^2)=f^2(\frac{p}{q})+2qf(\frac{p}{q})+q^2-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

 

<=> $f((\frac{p}{q})^2)+2p+q^2=f^2(\frac{p}{q})+2qf(\frac{p}{q})+q^2-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

 

<=> $f^2(\frac{p}{q})-f(2\frac{p}{q})+1+2p+q^2=f^2(\frac{p}{q})+2qf(\frac{p}{q})+q^2-f(\frac{2p}{q})-2q+1$

 

<=> $2qf(\frac{p}{q})=2p+2q$

 

<=> $f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$ 

 

OK rồi.

Bây giờ mình sẽ chứng minh quy nạp ngay từ đầu:

Trước hết $f(0)=f(1)f(0)-f(1)+1\Rightarrow f(0)=1$.

Giả sử:$f(m)=m+1\Rightarrow f(m.1)=f(m)f(1)-f(m+1)+1\Rightarrow f(m+1)=f(m)+1=m+2$

Vậy với m thuộc N thì: $f(m)=m+1$.

ta lấy -m thì:

$f(m)=f((-1)(-m))=f(0)f(-m)-f(-1-m)+1=m+1$.

Vậy với m thuộc Z thì $f(m)=m+1$.

Luôn tồn tại n thuộc N>0 sao cho:

$f(m)=f(n.\frac{m}{n})=nf(\frac{m}{n})-f(n-1)=m+1\Rightarrow f(\frac{m}{n})=\frac{m}{n}+1.$

Vậy với mọi $x\in \mathbb{Q}$ ta luôn có: $f(x)=x+1$.  

p/s: đề năm nay không có lợi cho mình, chán...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 15-11-2013 - 20:28

[AnnieSally]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thoả :

$\left\{\begin{matrix} f(1)=2 & \\ f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1(x,y\in \mathbb{Q}) & \end{matrix}\right.$

Các bạn cho mình hỏi, những dấu hiệu nào để biết áp dụngnquy nạp giải pth?

Xem tại đây