Chủ đề này có 6 trả lời

[SuperStar2000]

CMR : $3^{2n}-9 \vdots 72 \forall n \epsilon N$ 

[letankhang]

CMR : $3^{2n}-9 \vdots 72 \forall n \epsilon N$ 

Ta sẽ chúng minh bằng phép quy nạp

Tại $n=1$ ta có điều trên luôn đúng

Giả sử tại $n=k$ thỏa mãn

$\Rightarrow 72|3^{2k}-9$ 

Ta cần chứng minh tại $n=k+1$ cũng thỏa 

$3^{2n}-9=3^{2k+2}-9=9.3^{2k}-81+72=[9(3^{2k}-9)+72]\vdots 72$

Vậy ta có $Q.E.D$

[SuperStar2000]

^^, Q.E.D - KẾT THÚC !!! CÁM ƠN BẠN NHIỀU LẮM, BẠN CŨNG ĐỌC THÁM TỬ TOMA À?

 

 

ĐHV : Lần sau không Spam thế này nữa nha!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SieuNhanVang: 06-11-2013 - 19:20

[Rias Gremory]

CMR : $3^{2n}-9 \vdots 72 \forall n \epsilon N$ 

Ngoài cách rất hay của letankhang , mình còn có cách khác ( hơi dài so với cách trên)

Ta có : $3^{2n}-9=(3^{n}+3)(3^{n}-3)$

Vì $3^{n}+3$ và $3^{n}-3$ chia hết cho $3$

$\Rightarrow (3^{n}+3)(3^{n}-3)\vdots 9$

Ta thấy $3^{n}+3$ và $3^{n}-3$ đều là số chẵn nên chia hết cho $2$

$\blacksquare$ Nếu $3^{n}+3\vdots 4\Rightarrow (3^{n}+3)(3^{n}-3)\vdots 8$

$\blacksquare$ Nếu $3^{n}+3$ chia $4$ dư $2$ thì $3^{n}-3$ chia hết cho $4$

$\Rightarrow (3^{n}+3)(3^{n}-3)$ chia hết cho $2.4=8$

Vậy tích $(3^{n}+3)(3^{n}-3)$ luôn chia hết cho $8$

Mà $(8;9)=1$ nên $3^{2n}-9=(3^{n}+3)(3^{n}-3)$ chia hết cho $8.9=72$

[SuperStar2000]

Ngoài cách rất hay của letankhang , mình còn có cách khác ( hơi dài so với cách trên)

Ta có : $3^{2n}-9=(3^{n}+3)(3^{n}-3)$

Vì $3^{n}+3$ và $3^{n}-3$ chia hết cho $3$

$\Rightarrow (3^{n}+3)(3^{n}-3)\vdots 9$

Ta thấy $3^{n}+3$ và $3^{n}-3$ đều là số chẵn nên chia hết cho $2$

$\blacksquare$ Nếu $3^{n}+3\vdots 4\Rightarrow (3^{n}+3)(3^{n}-3)\vdots 8$

$\blacksquare$ Nếu $3^{n}+3$ chia $4$ dư $2$ thì $3^{n}-3$ chia hết cho $4$

$\Rightarrow (3^{n}+3)(3^{n}-3)$ chia hết cho $2.4=8$

Vậy tích $(3^{n}+3)(3^{n}-3)$ luôn chia hết cho $8$

Mà $(8;9)=1$ nên $3^{2n}-9=(3^{n}+3)(3^{n}-3)$ chia hết cho $8.9=72$

Ừm, để mình xem... Có tận 2 cách giải, thú vị thật, hihi. Mặc dù hơi buồn là mình k phải người làm ra nó nhưng sẽ cố gắng để được như mấy bạn. Thank you very much!!!

[SuperStar2000]

Ta sẽ chúng minh bằng phép quy nạp

Tại $n=1$ ta có điều trên luôn đúng

Giả sử tại $n=k$ thỏa mãn

$\Rightarrow 72|3^{2k}-9$ 

Ta cần chứng minh tại $n=k+1$ cũng thỏa 

$3^{2n}-9=3^{2k+2}-9=9.3^{2k}-81+72=[9(3^{2k}-9)+72]\vdots 72$

Vậy ta có $Q.E.D$

 $\Rightarrow 72|3^{2k}-9$ 

 là sao bạn, chỗ 72 rồi dấu gì ấy

[Van Chung]

CMR : $3^{2n}-9 \vdots 72 \forall n $\Rightarrow 3^{2n}-9\vdots72\forall n$ N$ 

$3^{2n}-9=9^{n}-9=9(9^{n-1}-1)$

Nhận xét: $9^{n-1}-1\vdots (9-1) hay 9^{n-1}-1\vdots 8$

Mà (8;9)=1$\Rightarrow 3^{2n}-9\vdots72\forall n$(đpcm)