Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenthehuy]

a³/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b)>=(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))((a+b+c)/3)^2   voi a,b ,c  nguyen duong

 

 

$\sum\frac{a^3}{b+c} \geq \left(\sum \frac{a}{b+c} \right ) ^2$

 

 

[nguyenthehuy]

1/(a+1)+1/(b+1)>=2/(cangbac2 cua (ab)+1)  voi a , b >=1

[sieucuong1998]

Cho hai số dương thỏa mãn $a,b\geq 1$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}+1} $

Đặt $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}$ thì $xy\geq 1 (*) $ và BĐT được viết lại

$$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}\geq \frac{2}{xy+1} (1) $$

$$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{y^{2}+1}-\frac{1}{xy+1}\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x \left (y-x \right )}{\left ( x^2+1 \right )\left ( xy+1 \right )}-\frac{y \left (y-x \right )}{\left ( y^2+1 \right )\left ( xy+1 \right )}\geq 0$$

$\Leftrightarrow \left ( y-x \right )\left [ x\left ( y^2+1 \right )-y\left (x^2+1  \right ) \right ]\geq 0$ (vì mẫu dương) 

$\Leftrightarrow \left ( y-x \right )^{2}\left ( xy-1 \right )\geq 0$ (BĐT đúng vì có $(*)$)

Vậy BĐT cần chứng minh đã $Q.E.D$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$ hay $a=b=1$

$\square $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieucuong1998: 09-12-2013 - 21:39

[Hoang Tung 126]

Hình như đề dúng phải là :CM:$\sum \frac{a^3}{b+c}\geq \frac{1}{2}.(\sum \frac{a^2}{b+c})^2$