Cho a,b,c là các số dương, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$
Trích: đề thi hsg sáng nay của huyện Điện Bàn-Quảng Nam ^^
Cho a,b,c là các số dương, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$
Trích: đề thi hsg sáng nay của huyện Điện Bàn-Quảng Nam ^^
Ta có
$4P=\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\leq 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\leq 2.\frac{1}{4}.2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=2013$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow $a=b=c=\frac{1}{671}$
Cho a,b,c là các số dương, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$
Trích: đề thi hsg sáng nay của huyện Điện Bàn-Quảng Nam ^^
Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với $x,y> 0$
Nên $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})$
Tương tự
$\frac{1}{a+2b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2013}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b=c \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2013 \end{matrix}\right.$
Đến đây tự tìm dấu bằng nhá
chứng minh $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
tương tự cộng vế
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
Ừ,mình hiểu rồi,cám ơn mấy bạn nhé,vậy mà lúc sáng làm không ra
ĐHV : Lần sau cám ơn chỉ cần ấn chữ ''Thích'' chỗ bài viết bạn muốn cám ơn. Đừng viết như thế này nữa nhé.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SieuNhanVang: 07-11-2013 - 21:51
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh