Chủ đề này có 2 trả lời

[hihi2zz]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$.Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+10abc \geq 2$

[nguyenqn1998]

đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$

bất đẳng thức cần c/m tương đương: 

$\sum_{cyc}\frac{x^2}{(y+z)^2}+\frac{10xyz}{(x+y)(x+z)(y+z)}\geq 2$

$<=>\sum_{cyc}(x^6+2x^5y+2x^5z-x^4y^2-x^4z^2-4x^3y^3+x^2y^2z^2)\geq 0$

đúng do bất đẳng thức schur và murihead

[KietLW9]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$.Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+10abc \geq 2$

Do $ab+bc+ca+2abc=1$ nên tồn tại các số $x,y,z$ sao cho $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$

Từ đó ta có $a+b+c\geqslant \frac{3}{2}(Nesbitt)$

Vậy: $a^2+b^2+c^2+10abc=a^2+b^2+c^2+6abc+4abc\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}+4abc\geqslant 2(ab+bc+ca)+4abc=2(Schur)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 28-04-2021 - 20:47