Chủ đề này có 4 trả lời

[nhatquangsin]

Cho $a,b,c$ là các số không âm và có tổng bằng $1$. Chứng minh $a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{4}{27}$

[AnnieSally]

Gọi $x=\max\left \{ a,b,c \right \}$

TH1: $a\geq b\geq c\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq a^2b+b^2c+c^2a+c(ab+(a-b)(b-c))=a^2+2abc+bc^2=(a+c)^2b=4(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b)(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b)b\leq \frac{4}{27}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3},c=0$

TH2: $a\geq c\geq b\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a=a^2c+c^2b+b^2a+(a-c)(c-b)(a-b)\leq a^2c+c^2b+b^2a\leq \frac{4}{27}$ (TH trên)

Dấu "=" xảy ra khi hoán vị $a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3},c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 08-11-2013 - 21:00

[Hoang Tung 126]

Ta có :$a^2b+b^2c+c^2a\leq a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq \frac{4(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{27}$(đpcm)

[hieuvipntp]

Ta có :$a^2b+b^2c+c^2a\leq a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq \frac{4(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{27}$(đpcm)

dấu = xảy ra lúc nào vậy hoangtung

[Rias Gremory]

Ta có :$a^2b+b^2c+c^2a\leq a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq \frac{4(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{27}$(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $abc=0$ và $a=b=c$ ; $a+b+c=1$ . Không xảy ra mà bạn