5 replies to this topic

[Ispectorgadget]

Cho dãy số $\{x_n\}$ thỏa $x_1=1;x_{n+1}=\frac{n}{x_n}+\frac{x_n}{n}$. Chứng minh $$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_n^2}{n}=1; \; \lim\limits_{n\to +\infty}(x_n^2-n)=\frac{1}{2}$$

 

Edited by Ispectorgadget, 08-11-2013 - 23:25.

[kfcchicken98]

giả sử $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n}^{2}}{n}=1$

ta sẽ chứng minh $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}^{2}}{n+1}=1$
có $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}^{2}}{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{\frac{n^{2}}{x_{n}^{2}}+\frac{x_{n}^{2}}{n^{2}}+2}{n+1}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+\frac{1}{n}+2}{n+1}=1$ đpcm

[kfcchicken98]

phần sau mình nghĩ phải là 1 chứ không phải $\frac{1}{2}$?

Edited by kfcchicken98, 13-11-2013 - 08:19.

[HoaTheKiet]

giả sử $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n}^{2}}{n}=1$

ta sẽ chứng minh $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}^{2}}{n+1}=1$
có $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}^{2}}{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{\frac{n^{2}}{x_{n}^{2}}+\frac{x_{n}^{2}}{n^{2}}+2}{n+1}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+\frac{1}{n}+2}{n+1}=1$ đpcm

Nếu đề không bảo tìm giới hạn mà bảo chứng minh hội tụ thì cũng chứng minh hội tụ theo kiểu quy nạp thế này á.

Hơn nữa nếu dãy này mà không hội tụ thì giả sử của bạn vô nghĩa.

Cách này không ổn, không chặt chẽ chút nào.

Kiểu bài này dùng theo định lý Stobz.

Edited by HoaTheKiet, 13-11-2013 - 10:08.

[kfcchicken98]

Nếu đề không bảo tìm giới hạn mà bảo chứng minh hội tụ thì cũng chứng minh hội tụ theo kiểu quy nạp thế này á.

Hơn nữa nếu dãy này mà không hội tụ thì giả sử của bạn vô nghĩa.

Cách này không ổn, không chặt chẽ chút nào.

Kiểu bài này dùng theo định lý Stobz.

vậy bạn làm ra cho mình xem

[maitienluat]

Cho dãy số $\{x_n\}$ thỏa $x_1=1;x_{n+1}=\frac{n}{x_n}+\frac{x_n}{n}$. Chứng minh $$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_n^2}{n}=1; \; \lim\limits_{n\to +\infty}(x_n^2-n)=\frac{1}{2}$$

$\bullet$ Chứng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_n^2}{n}=1$

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng $\sqrt{n}<x_n<\sqrt{n}+1$.

Với $n=1,n=2$ đúng. Giả sử nó đúng tới $n=k \geq 2 \Rightarrow \sqrt{k}<x_k< \sqrt{k}+1$.

Xét hàm số $f_k(x)= \frac {x} {k} + \frac {k} {x}$ trên $(\sqrt{k};\sqrt{k}+1)$

Ta có $f'(x)= \frac {x^2-k^2} {x^2} < 0 $ do $x< \sqrt{k}+1<k (k \geq 2)$

Suy ra $f(\sqrt{k})> f(x_k) > f(\sqrt{k}+1)$

Mặt khác dễ dàng kiểm tra được rằng $f(\sqrt{k}) < \sqrt{k+1} +1$ và $f(\sqrt{k}+1) > \sqrt{k+1}$

nên ta suy ra $\sqrt{k+1}+1 > x_{k+1} > \sqrt{k+1}$.

Từ đó áp dụng nguyên lý kẹp ta thu được $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {x_n}{\sqrt{n}}=1$.

Vậy ta có đpcm.

$\bullet$ Chứng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty} (x_n^2-n) = \frac {1} {2}$.

Lập dãy $(y_n) y_n=x_n^2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_1=1 & \\ y_{n+1}=\frac {y_n}{n^2}+\frac{n^2}{y_n}+2 & \end{matrix}\right$

Bằng cách tương tự như câu a, ta chứng minh được BĐT sau với mọi $n \geq 2$

$$n+\frac{1}{2}<y_n<n+\frac{1}{2}+\frac{5n^2+4+1}{4n^3-2n^2-8n-4}$$

Áp dụng nguyên lí kẹp ta có đpcm.

Edited by maitienluat, 14-11-2013 - 19:49.