Chủ đề này có 2 trả lời

[datcoi961999]

Giải phương trình:

$$x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}$$

[Huuduc921996]

Giải phương trình:

$$x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}$$

Đk $x\geq1$

+) Ta thấy: x=0 là nghiệm của phương trình.

+) Xét $x\neq 0$ . Ta chia 2 vế cho $x^2$ được:

$1=\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}$

Đặt $t=\frac{1}{x}$ $(0< t\leq 1)$, được:

$\sqrt{t-t^2}+\sqrt{t^2-t^3}=1 (1)$

t=1 không là nghiệm nên $(1)\Leftrightarrow t+\sqrt{t}=\frac{1}{\sqrt{1-t}} (2)$

Với $(0< t\leq 1)$ nên

$\left\{\begin{matrix}0<VT(2)\leq 2\\ 1\leq VP(2)\end{matrix}\right.$

Ta thấy: 

$VT(2)\geq1 \Leftrightarrow x\geq\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ thì $\Rightarrow VP(2)\geq\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$VP(2)\leq2\Leftrightarrow x\leq\frac{3}{4}$ thì $\Rightarrow VT(1)\leq\frac{21}{16} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow$ Phương trình (1) vô nghiệm.

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất là x=0

[Johan Liebert]

Đk $x\geq1$

+) Ta thấy: x=0 là nghiệm của phương trình.

+) Xét $x\neq 0$ . Ta chia 2 vế cho $x^2$ được:

$1=\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}$

Đặt $t=\frac{1}{x}$ $(0< t\leq 1)$, được:

$\sqrt{t-t^2}+\sqrt{t^2-t^3}=1 (1)$

t=1 không là nghiệm nên $(1)\Leftrightarrow t+\sqrt{t}=\frac{1}{\sqrt{1-t}} (2)$

Với $(0< t\leq 1)$ nên

$\left\{\begin{matrix}0<VT(2)\leq 2\\ 1\leq VP(2)\end{matrix}\right.$

Ta thấy: 

$VT(2)\geq1 \Leftrightarrow x\geq\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ thì $\Rightarrow VP(2)\geq\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$VP(2)\leq2\Leftrightarrow x\leq\frac{3}{4}$ thì $\Rightarrow VT(1)\leq\frac{21}{16} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow$ Phương trình (1) vô nghiệm.

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất là x=0

 

Đến chỗ $\sqrt{t-t^2}+\sqrt{t^2-t^3}=1$

 

Có thể làm là $0 \leq t-t^2=-(t-\dfrac{1}{2})^2+ 0,25 \leq 0,25$

 

$\leftrightarrow  \sqrt{t-t^2} \leq \dfrac{1}{2}$

 

$\sqrt{t^2-t^3}=\sqrt{t(t-t^2)} \leq \dfrac{1}{2}$( vì $t \leq 1$)

 

Cộng từng vế. dấu "=" không xảy ra nên pt có nghiệm duy nhất là 0

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 11-11-2013 - 10:04