Chủ đề này có 6 trả lời

[datcoi961999]

Tìm giá trị lớn nhất của 

$$P=\frac{X1^{2009}+X2^{2009}+...+Xk^{2009}}{X1^{2010}+X2^{2010}+...+Xk^{2010}}\\$$. Với $k\in \mathbb{Z}/k> 0 \\X1,X2,...,Xk\in \mathbb{R+}/X1+X2+...+Xk\geq k$

[leduylinh1998]

Không mất tính tổng quát, giả sử $\large x_{1}\geq x_{2}\geq ...\geq x_{k}$$\large \Rightarrow x_{1}^{2009}\geq x_{2}^{2009}\geq ...\geq x_{k}^{2009}$

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:

$\large k\left ( x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010}+...+x_{k}^{2010} \right )\geq \left ( x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009}+...+x_{k}^{2009} \right )(x_{1}+x_{2}+...+x_{k})\geq \left ( x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009}+...+x_{k}^{2009} \right ).k$

$\large \Rightarrow \frac{x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009}+..+x_{k}^{2009}}{x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010}+...+x_{k}^{2010}}\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $\large x_{1}=x_{2}=..=x_{k}$

[mnguyen99]

 

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:

bạn nêu công thức của bất đẳng thức trê -bư -sép được ko?

[lovemath99]

bạn nêu công thức của bất đẳng thức trê -bư -sép được ko?

 

Tổng quát của BDT Chebyshev:

Cho 2 dãy số thực đơn điệu tăng: $a_1 \le a_2 \le a_3...\le a_n$ và $b_1 \le b_2 \le b_3 ... \le b_n$ thì ta luôn có bdt sau:

$$(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n) \ge \dfrac{1}{n}(a_1+a_2+a_3+...+a_n)(b_1+b_2+b_3+...+b_n)$$

[datcoi961999]

Không mất tính tổng quát, giả sử $\large x_{1}\geq x_{2}\geq ...\geq x_{k}$$\large \Rightarrow x_{1}^{2009}\geq x_{2}^{2009}\geq ...\geq x_{k}^{2009}$

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:

$\large k\left ( x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010}+...+x_{k}^{2010} \right )\geq \left ( x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009}+...+x_{k}^{2009} \right )(x_{1}+x_{2}+...+x_{k})\geq \left ( x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009}+...+x_{k}^{2009} \right ).k$

$\large \Rightarrow \frac{x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009}+..+x_{k}^{2009}}{x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010}+...+x_{k}^{2010}}\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $\large x_{1}=x_{2}=...=x_{k}$

theo mình dấu $=$ xảy ra $\left\{\begin{matrix} \large x_{1}=x_{2}=...=x_{k} \\ x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=k& & \end{matrix}\right.\\<=>x_{1}=x_{2}=..=x_{k}=1$

[Yagami Raito]

Cách 2: Ta có $(x^{n}-1)(x-1)=(x-1)^2(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1) \geq 0$ (1)

Mặt khác: $(x^{n}-1)(x-1)=x^{n+1}-x^{n}-x+1(2)$

Từ $(1),(2) \Rightarrow x^{n+1}-x^{n} \geq x-1$ $(\star)$

Áp dung BĐT $(\star)$ ta có 

 

$x_1^{2010}-x_1^{2009}\geq x_1-1$

$x_2^{2010}-x_2^{2009}\geq x_2-1$

......

......

$x_{k}^{2010}-x_{k}^{2009} \geq x_{k}-1$

Cộng vế theo vế ta được $\sum x_1^{2010}-\sum x_1^{2009} \geq \sum x_1 -(1+1+1+...+1)=\sum x_1 -k$

Do theo gt thì $\sum x_1 \geq k$

$\Rightarrow \sum x_{1}^{2010} \geq \sum x_{1}^{2009}$

$\Rightarrow P \leq 1$ 

Vậy Max $P=1$ ......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 17-11-2013 - 12:02

[Yagami Raito]

Cách 3 : 

Áp dụng BĐT  Cauchy-schwarz cho 2 bộ số không âm $(x_1^{1005},....x_{k}^{1005})$ và $(x_1^{1004},....,x_{k}^{1004})$ ta có :

 

$$(\sum x_1^{2009})^2 \leq (\sum x_1^{2010})(\sum x_1^{2008})$$

 

$$\Rightarrow P \leq \dfrac{\sum x_1^{2008}}{\sum x_1^{2009}}$$

 

Chứng minh tương tự thì : 

$$\dfrac{\sum x_1^{2008}}{\sum x_1^{2009}} \leq \dfrac{\sum x_1^{2007}}{\sum x_1^{2008}}$$

............

............

$$\dfrac{ \sum x_1}{\sum x_1^2} \leq \dfrac{1+1+..+1}{\sum x_1}=\dfrac{k}{\sum x_1}$$

 

lại có theo gt thì $\sum x_1 \geq k$ vậy $P \leq 1$ .......