Chủ đề này có 2 trả lời

[MrJokerWTF]

1. a,b,c dương và $a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$
Cm : $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$
2. a,b,c dương và ab+bc+ca = 3
Cm : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrJokerWTF: 10-11-2013 - 18:03

[Rias Gremory]

1. a,b,c dương và $a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$
Cm : $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

$(a+2b)^{2}=(1.a+\sqrt{2}.\sqrt{2}b)^{2}\leq (1+2)(a^{2}+2b^{2})\leq 3.3c^{2}=9c^{2}$

$\Rightarrow a+2b=3c$

$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+b}=\frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{3c}=\frac{3}{c}$

[ngocnghech]

2. a,b,c dương và ab+bc+ca = 3
Cm : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}\leq 1$

xêt $(a+b+c)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+1)(1+1+c^{2})$ (BĐT bunhia)

$\rightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}\leq \frac{2+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}{(a+b+c)^{2}}=1$