Chủ đề này có 1 trả lời

[coolcoolcool1997]

Cho $1\geq x\geq y\geq 0$. Chứng minh rằng:

$y^2(x^3+y)+x^2\geq xy(x^2+y^2+1)$

Mong mọi người giúp đỡ. Mọi người cho em hỏi bất đẳng thức mà biến xác định trong khoảng như trên thì thường giải làm sao ạ.

[25 minutes]

Cho $1\geq x\geq y\geq 0$. Chứng minh rằng:

$y^2(x^3+y)+x^2\geq xy(x^2+y^2+1)$

Mong mọi người giúp đỡ. Mọi người cho em hỏi bất đẳng thức mà biến xác định trong khoảng như trên thì thường giải làm sao ạ.

BĐT tương đương với $x^3y^2+y^3+x^2 \geqslant x^3y+xy^3+xy$

                   $\Leftrightarrow x^3y(y-1)+y^3(1-x)+x(x-y)\geqslant 0$

Do $0 \leqslant x \leqslant 1$ nên $y^3(1-x)\geqslant xy^3(1-x)$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $x^3y(y-1)+ xy^3(1-x)+x(x-y) \geqslant 0$

                             $\Leftrightarrow xy(x^2y-x^2+y^2-xy^2)+x(x-y)\geqslant 0$

                             $\Leftrightarrow xy\left [ xy(x-y)-(x-y)(x+y) \right ]+x(x-y)\geqslant 0$

Do $x \geqslant y \geqslant 0$ nên $\Leftrightarrow y(xy-x-y)+1\geqslant 0$

                             $\Leftrightarrow (y-1)(xy-y-1) \geqslant 0$

BĐT trên luôn đúng với giả thiết

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $(x,y)=(1,1)=(0,0)$