Cho $a,b,c>0,\sum a=3$. Tìm $min P= \sum \frac{\left ( a+b-c \right )^2}{c^2+(a+b)^2}$
Tìm $min P= \sum \frac{\left ( a+b-c \right )^2}{c^2+(a+b)^2}$
#1
Đã gửi 16-11-2013 - 19:59
- dinhminhha, Vu Thuy Linh, hoctrocuanewton và 1 người khác yêu thích
Issac Newton
#2
Đã gửi 16-11-2013 - 20:41
mình nghĩ thì đưa về dạng
P=$3-\sum \frac{2(a+b)c}{c^{2}+(a+b)^{2}}$
rồi chứng minh $\sum \frac{2(a+b)c}{c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{12}{5}$
nhưng mà làm đến đây thì bó tay
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 16-11-2013 - 21:16
- Dung Dang Do yêu thích
#3
Đã gửi 16-11-2013 - 21:40
Cho $a,b,c>0,\sum a=3$. Tìm $min P= \sum \frac{\left ( a+b-c \right )^2}{c^2+(a+b)^2}$
Câu 4:
Áp dụng BDT Svacxo ta có:
$A=\frac{(a+b-c)^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}}+\frac{(b+c-a)^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(c+a-b)^{2}}{b^{2}+(c+a)^{2}}\geq \frac{(a+b-c+b+c-a+c+a-b)^2}{a^2+(a+b)^2+a^2+(b+c)^2+b^2+(c+a)^2}$
$<=>A\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2}$
Mà theo Bunhiacopxki ta có:
$(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}<=>2(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{2}{3}.(a+b+c)^2$
$=>A\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}.(a+b+c)^2+(a+b+c)^2}=\frac{3}{5}$
$<=>A\geq \frac{3}{5}$
Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=1$
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
#4
Đã gửi 16-11-2013 - 21:43
Câu 4:
Áp dụng BDT Svacxo ta có:
$A=\frac{(a+b-c)^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}}+\frac{(b+c-a)^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(c+a-b)^{2}}{b^{2}+(c+a)^{2}}\geq \frac{(a+b-c+b+c-a+c+a-b)^2}{a^2+(a+b)^2+a^2+(b+c)^2+b^2+(c+a)^2}$
$<=>A\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2}$
Mà theo Bunhiacopxki ta có:
$(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}<=>2(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{2}{3}.(a+b+c)^2$
$=>A\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}.(a+b+c)^2+(a+b+c)^2}=\frac{3}{5}$
$<=>A\geq \frac{3}{5}$
Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=1$
chỗ này ngược dấu rồi bạn ơi
#5
Đã gửi 16-11-2013 - 21:59
mình nghĩ thì đưa về dạng
P=$3-\sum \frac{2(a+b)c}{c^{2}+(a+b)^{2}}$
rồi chứng minh $\sum \frac{2(a+b)c}{c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{12}{5}$
nhưng mà làm đến đây thì bó tay
Giúp cậu 1 tay
Cần chứng minh $$\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\le \frac{6}{5}\to \sum \frac{a(3-a)}{2a^2-6a+9}$$
Lại có đánh giá như sau
$$\frac{a(3-a)}{2a^2-6a+9}\le\frac{21+9a}{25}\to \frac{(a-1)^2(18a+9)}{25(2a^2-6a+9)}\ge 0 \text{ (\text{ True })}$$
Đánh giá này còn gọi là kĩ thuật tiếp tuyến (u.c.t)
- hoctrocuanewton và NMDuc98 thích
#6
Đã gửi 16-11-2013 - 22:04
bạn có tài liệu của phần sử dụng phương pháp đánh giá trên không ? nếu có thì share cho mình với
#7
Đã gửi 16-11-2013 - 22:06
chỗ này ngược dấu rồi bạn ơi
Ờ nhỉ!Nhầm rồi!Để làm lại xem!!
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh