Chủ đề này có 1 trả lời

[MrJokerWTF]

Cho a,b,c dương . Chứng minh : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}$

[Hoang Tung 126]

Kia phải là CM :$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{\sum a^2}{\sum a}$ chứ .

Theo bđt Cauchy-Swtach có :$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^3+\sum ab(a+b)}$

Do đó ta cần CM :$\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^3+\sum ab(a+b)}\geq \frac{\sum a^2}{\sum a}< = > (\sum a^2)(\sum a)\geq \sum a^3+\sum ab(a+b)$

Nhưng đây lại là hằng đẳng thức vì $(\sum a^2)(\sum a)=\sum a^3+\sum ab(a+b)$)

$= >$ BĐT đề bài được chứng minh. 

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c