Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenqn1998]

cho $a,b,c,d>0$ thõa $a+b+c+d=1$ CMR:

$A=abc+bcd+cda+dab \leq \frac{1}{16}$

[hoctrocuanewton]

Áp dụng liên tiếp bđt AM-GM  ta có

A=$abc+bcd+cda+dab= ab(c+d)+cd(a+b)\leq \frac{1}{4}(a+b)^{2}(c+d)+\frac{1}{4}(c+d)^{2}(a+b)= \frac{1}{4}(a+b+c+d)(a+b)(c+d)\leq \frac{1}{16}(a+b+c+d)^{3}=\frac{1}{16}$

vậy được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 18-11-2013 - 17:12

[Rias Gremory]

cho $a,b,c,d>0$ thõa $a+b+c+d=1$ CMR:

$A=abc+bcd+cda+dab \leq \frac{1}{16}$

Tổng quát bài toán :

Cho $a,b,c,d> 0$. Chứng minh 

$abc+bcd+cda+dab\leq \frac{1}{16}(a+b+c+d)^{3}$

Cách giải :

BĐT cần chứng minh tương đương 

$16(abc+bcd+cda+dab)\leq (a+b+c+d)^{3}$

Theo AM-GM ta có $16(abc+bcd+cda+dab)=16ab(c+d)+16cd(a+b)\leq 4(a+b)^{2}(c+d)+4(c+d)^{2}(a+b)=4(a+b)(c+d)(a+b+c+d)\leq (a+b+c+d)(a+b+c+d)^{2}=(a+b+c+d)^{3}$