Tìm GTLN,GTNN Của $A=x^3+y^3$ biết x,y dương và $x^2+y^2=1$
Tìm GTLN,GTNN Của $A=x^3+y^3$ biết x,y dương và $x^2+y^2=1$
#1
Đã gửi 18-11-2013 - 20:29
#2
Đã gửi 18-11-2013 - 20:58
Tìm GTLN,GTNN Của $A=x^3+y^3$ biết x,y dương và $x^2+y^2=1$
Ta có :
$x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow 0\leq \left | x \right |;\left | y \right |\leq 1\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}=1$
Áp dụng BĐT AM-GM :
$x^{3}+x^{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\geq 3\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}$
Tương tự : $y^{3}+y^{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\geq 3\frac{y^{2}}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow 2(x^{3}+y^{3})+\frac{1}{\sqrt{2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy :
$\left\{\begin{matrix} A_{min}=1\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0;y=1 & \\ x=1;y=0 & \end{bmatrix} & \\ A_{max}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}& \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 18-11-2013 - 20:59
- Yagami Raito, Trang Luong và zzhanamjchjzz thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#3
Đã gửi 18-11-2013 - 21:44
Tìm Min trước
Ta có : $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2 <=>(x+y)^2\leq 2 <=> x+y\leq \sqrt{2}$
Lại có : $1=(x^2+y^2)^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3})\leq (x+y)(x^3+y^3)\leq \sqrt{2}(x^3+y^3)=> x^3+y^3\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$
- rooney1234, zzhanamjchjzz và deptrai9803 thích
#4
Đã gửi 18-11-2013 - 21:50
Chém nốt câu Max
Vì $x^2+y^2=1 => x\leq 1 <=> x-1\leq 0 =>x^2(x-1)\leq 0$
Tương tự có $y^2(y-1)\leq 0$
=> $x^2(x-1)+y^2(y-1)\leq 0$ <=> $x^3+y^3\geq 1$
- rooney1234, zzhanamjchjzz và deptrai9803 thích
#5
Đã gửi 18-11-2013 - 22:14
#6
Đã gửi 18-11-2013 - 22:50
#7
Đã gửi 18-11-2013 - 22:58
Vì:
$a^2+b^2=1$ mà ta thấy 2 phần tử đều là dương vậy chắc chắn chỉ tồn tại nếu chúng đều bé hơn hoặc bằng $1$ thôi, số thực mà =)
- mrwin99, nguyentrungphuc26041999 và zzhanamjchjzz thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh