Chủ đề này có 2 trả lời

[xxthieuongxx]

1.Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: x² + y² + z² = 4p² + 1 luôn tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên dương.

2.Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: x² + y² + z² = 4p² + 1 luôn tồn tại ít nhất một nghiệm dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxthieuongxx: 19-11-2013 - 19:15

[Rias Gremory]

1.Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: x² + y² + z² = 4p² + 1 luôn tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên dương.

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ chia $3$ dư $1$ hoặc $p$ chia $3$ dư $2$

TH$1$ : $p$ chia cho $3$ dư $1$, tức là $p=3k+1$ ( $k\in N^{*}$ )

Ta có : $4p^{2}+1=4(3k+1)^{2}+1=4(9k^{2}+6k+1)+1=4k^{2}+(16k^{2}+8k+1)+(16k^{2}+16k+4)=(2k)^{2}=(4k+1)^{2}+(4k+2)^{2}$  (1)

Do đó nghiệm của phương trình là hoán vị của $2k,4k+1,4k+2$

TH$2$ : $p$ chia cho $3$ dư $2$, tức là $p=3k+2$ ( $k\in N^{*}$ )

Ta có : $4p^{2}+1=4(3k+2)^{2}+1=4(9k^{2}+12k+4)+1=(4k^{2}+8k+4)+(16k^{2}+16k+4)+(16k^{2}+24k+9)=(2k+2)^{2}+(4k+2)^{2}+(4k+3)^{2}$  (2)

Do đó nghiệm của phương trình là hoán vị của $2k+2,4k+2,4k+3$

Từ (1)(2) , bài toán được chứng minh

 

 

 

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SieuNhanVang: 19-11-2013 - 19:26

[Rias Gremory]

1.Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: x² + y² + z² = 4p² + 1 luôn tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên dương.

2.Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: x² + y² + z² = 4p² + 1 luôn tồn tại ít nhất một nghiệm dương.

Câu 2, Có nghiệm nguyên dương thì đương nhiên là có nghiệm dương