Chủ đề này có 4 trả lời

[neversaynever99]

Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi neversaynever99: 21-11-2013 - 23:33

[hoangtubatu955]

Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn ab+bc+ca=1.Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

Bạn xem lại đề nhé, giả thiết chắc là $ab+bc+ca=3$ mới đúng, chứ điều kiện thế này là sai mất tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[hoangtubatu955]

Nếu mà giải thiết như mình nói thì mình làm như sau:

BĐT đã cho tương đương với:

$\sum \frac{a^2}{a^2+2} \ge 1$, đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz.

[neversaynever99]

Bạn xem lại đề nhé, giả thiết chắc là $ab+bc+ca=3$ mới đúng, chứ điều kiện thế này là sai mất tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đã fix

[25 minutes]

Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

BĐT $\Leftrightarrow \frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

        $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$