Chủ đề này có 2 trả lời

[raquaza]

cho tam giác nhọn ABC chứng minh rằng

$\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{\cos C}\geq 6$

[25 minutes]

cho tam giác nhọn ABC chứng minh rằng

$\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{\cos C}\geq 6$

Áp dụng AM-GM ta có $\sum \frac{1}{\cos A}\geqslant \frac{9}{\cos A+\cos B+\cos C}$

Và   $\cos A+\cos B+\cos C\leqslant 3 \cos (\frac{A+B+C}{3})=\frac{3}{2}$

       $\Rightarrow \sum \frac{1}{\cos A}\geqslant 6$

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C=60^0$

[Hoang Tung 126]

Cách khác Ta có công thức sau :$cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1$

Đặt $cosA=x,cosB=y,cosC=z$

Theo nguyên lý Dirichle không mất tính tổng quát giả sử $(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})\geq 0< = > ab\geq \frac{a+b}{2}-\frac{1}{4}< = > 2abc\geq ac+bc-\frac{c}{2}= > 1=a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+ac+bc-\frac{c}{2}= > 2\geq 2a^2+2b^2+2c^2+2ac+2bc-c= > \frac{9}{4}\geq (a+b+c)^2+(a-b)^2+(c-\frac{1}{2})^2\geq (a+b+c)^2= > a+b+c\leq \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=\frac{1}{2}< = > a=b=c=\frac{1}{2}$

Ta có :$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\geq \frac{9}{\frac{3}{2}}=6$(đpcm)