cho $a,b>0$ CMR:
$a^3+b^3\geq2[\sqrt{\frac{1}{2}(a^2+b^2)}]^3$
$a^3+b^3\geq2[\sqrt{\frac{1}{2}(a^2+b^2)}]^3$
Bắt đầu bởi nguyenqn1998, 22-11-2013 - 20:10
#2
Đã gửi 22-11-2013 - 20:29
nam8298
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
chuẩn hóa $a^{2}+b^{2}= 2$
ta chứng minh $a^{3}+b^{3}\geq 2$ (dễ chứng minh bằng AM-GM)
- buiminhhieu yêu thích
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
#3
Đã gửi 22-11-2013 - 20:37
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Ta có :$a^3+b^3\geq 2(\sqrt{\frac{(a^2+b^2)}{2}})^3< = > (a^3+b^3)^2\geq \frac{(a^2+b^2)^3}{2}< = > a^6+b^6+4a^3b^3-3a^2b^4-3a^4b^2\geq 0$
Chia cả 2 vế của pt cho $b^6> 0$ rồi đặt $\frac{a}{b}=t$ .PT $< = > t^6-3t^4+4t^3-3t^2+1\geq 0< = > t^5(t-1)+t^4(t-1)-2t^3(t-1)+2t^2(t-1)-(t-1)(t+1)\geq 0< = > (t-1)(t^5+t^4-2t^3+2t^2-t-1)\geq 0< = > (t-1)(t^4(t-1)+2t^3(t-1)+2t(t-1)+(t-1))\geq 0< = > (t-1)^2(t^4+2t^3+2t+1)\geq 0$(luôn đúng) (1)
Do $2.(\sqrt{\frac{(a^2+b^2)}{2}})^3\geq 2\left [ \sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{2}} \right ]^3$
(Do phần nguyên của một số luôn nhỏ hơn hoặc bằng sô đó)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
