Cho $a,b,c\leq 1$. Chứng minh:
$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$
C/m: $\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$
Bắt đầu bởi pdtienArsFC, 23-11-2013 - 12:52
#1
Đã gửi 23-11-2013 - 12:52
pdtienArsFC
-
- Thành viên
-
- 133 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 23-11-2013 - 13:09
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho $a,b,c\leq 1$. Chứng minh:
$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c) \qquad (1)$
Lời giải. Đặt $1-a=x,1-b=y,1-c=z$ thì $x,y,z \ge 0$. Khi đó $$(1) \Leftrightarrow \frac{x+y+z}{3-x-y-z} \ge 3xyz \Leftrightarrow x+y+z+3xyz(x+y+z) \ge 9xyz(x+y+z) \qquad (2)$$
Nếu $xyz=0$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x=0$ thì ta có $(2) \Leftrightarrow y+z \ge 0$, đúng vì $y,z \ge 0$.
Nếu $xyz \ne 0$ thì $x,y,z>0$. Khi đó $(2) \Leftrightarrow \frac{1}{xy}+ \frac{1}{yz}+ \frac{1}{zx}+3(x+y+z) \ge 9$.
Ta có theo BĐT AM-GM thì $\frac{1}{xy}+x+y \ge 3$ nên $\frac{1}{xy}+ \frac{1}{yz}+ \frac{1}{zx}+2(x+y+z) \ge 9$. Ta suy ra $$\frac{1}{xy}+ \frac{1}{yz}+ \frac{1}{zx}+3(x+y+z)>9$$
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$. $\blacksquare$
- Yagami Raito, nguyentrungphuc26041999, Juliel và 6 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
