Chủ đề này có 9 trả lời

[DinhTien1202]

Cho a , b , c , d là các số dương thỏa mãn ab + bc + cd + da = 3
Tìm Min A = $\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{a+c+d}+\frac{c^{3}}{a+b+d}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhTien1202: 25-11-2013 - 20:54

[Phuong Thu Quoc]

Cho a , b , c , d là các số dương thỏa mãn ab + bc + cd + da = 3
Tìm Min A = $\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{a+c+d}+\frac{c^{3}}{a+b+d}$

Theo Cauchy-Schwarz ta có

$A.\sum a\left ( b+c+d \right )\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2} \Rightarrow 9A\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2}$

Mặt khác $\left ( \sum a^{2} \right )^{2}\geq \left ( ab+bc+cd+da \right )^{2}=9$ ( theo AM-GM )

Vậy $A\geq 1$

[DinhTien1202]

Mặt khác $\left ( \sum a^{2} \right )^{2}\geq \left ( ab+bc+cd+da \right )^{2}=9$ ( theo AM-GM )

Bạn có thể nói rõ đoạn này không ? Trong $(\sum a^{2})^{2} $ trên chỉ có $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ không có $d^{2}$ nên $(\sum a^{2})^{2} \geq (ab+bc+ca)^{2}$ thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhTien1202: 25-11-2013 - 23:26

[Hoang Tung 126]

Bạn còn thiếu mất 1 số hạng nữa là $\frac{d^3}{a+b+c}$

Theo bdt Bunhiacopxki ta có :$\sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq \frac{(\sum a)^3}{4(3\sum a)}=\frac{(\sum a)^3}{12\sum a}=\frac{(\sum a)^2}{12}\geq \frac{4(\sum ab)}{12}=\frac{\sum ab}{3}=\frac{4}{3}$

[DinhTien1202]

Chỉ có đúng 3 hạng tử trên thôi bạn nhé , không nhầm đề đâu 

[hoangtubatu955]

Áp dụng AM-GM như sau:

$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{a(b+c+d)}{9} \ge \frac{2}{3}a^2$

Tương tự và cộng lại ta có đpcm.

Chú ý rằng:

$a^2+b^2+c^2+d^2 \ge ab+bc+cd+da$

[mexanhmx]

Áp dụng AM-GM như sau:

$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{a(b+c+d)}{9} \ge \frac{2}{3}a^2$

Tương tự và cộng lại ta có đpcm.

Chú ý rằng:

$a^2+b^2+c^2+d^2 \ge ab+bc+cd+da$

 

Áp dụng AM-GM như sau:

$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{a(b+c+d)}{9} \ge \frac{2}{3}a^2$

Tương tự và cộng lại ta có đpcm.

Chú ý rằng:

$a^2+b^2+c^2+d^2 \ge ab+bc+cd+da$

Làm sao khử được ac và bd trong này bạn nhỉ! Bởi trong giả thiết thì chỉ có ab, bc, cd, da mà không có ac và bd.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mexanhmx: 29-12-2013 - 01:56

[mexanhmx]

Theo Cauchy-Schwarz ta có

$A.\sum a\left ( b+c+d \right )\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2} \Rightarrow 9A\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2}$

Mặt khác $\left ( \sum a^{2} \right )^{2}\geq \left ( ab+bc+cd+da \right )^{2}=9$ ( theo AM-GM )

Vậy $A\geq 1$

 

Theo Cauchy-Schwarz ta có

$A.\sum a\left ( b+c+d \right )\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2} \Rightarrow 9A\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2}$

Mặt khác $\left ( \sum a^{2} \right )^{2}\geq \left ( ab+bc+cd+da \right )^{2}=9$ ( theo AM-GM )

Vậy $A\geq 1$

Ở đây xuất hiện ac, bd mà sao lại đưa về hằng số được, Trong bđt trung gian có chứa 2(ab+bc+cd+da+ac+bd) mà

[hoangtubatu955]

Ở đây xuất hiện ac, bd mà sao lại đưa về hằng số được, Trong bđt trung gian có chứa 2(ab+bc+cd+da+ac+bd) mà

cái $ac, bd$ bạn ghép với $a^2+c^2, b^2+d^2$

[mexanhmx]

cái $ac, bd$ bạn ghép với $a^2+c^2, b^2+d^2$

Thú thực mình chưa rõ chỗ này! Mong bạn giúp mình cụ thể hơn! Cảm ơn bạn nhiều!