Chủ đề này có 1 trả lời

[Luffy 97]

Cho tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I)$ và đường tròn ngoại tiếp $(O)$. Đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $AIB$ cắt $(I)$ tại hai điểm khác nhau $X,Y$. Đường thẳng $JF$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh $(PXY)$ tiếp xúc với $(O)$.

(Kí hiệu $(O)$ đường tròn có tâm $O$, $(ABC)$ là đường tròn qua ba điểm $A,B,C$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Luffy 97: 26-11-2013 - 12:30

[nguyenthehoan]

Cho tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I)$ và đường tròn ngoại tiếp $(O)$. Đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $AIB$ cắt $(I)$ tại hai điểm khác nhau $X,Y$. Đường thẳng $JF$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh $(PXY)$ tiếp xúc với $(O)$.

(Kí hiệu $(O)$ đường tròn có tâm $O$, $(ABC)$ là đường tròn qua ba điểm $A,B,C$)

Ta có $J$ tâm ngoại tiếp tam giác $IBA$ là trung điểm cung $BA$.

Ta có $\widehat{APJ}=\widehat{JPB}=\widehat{JAF}$

Nên $\Delta JAF\sim \Delta IPA$ nên $JA^{2}=JF.JP=JI^{2}$  (*)

Xét phép nghịch đảo tâm $J$, phương tích $JI^{2}$, ta có

+) $A,B,X,Y$ bất biến

+) $P \mapsto F$ (do (*)

+) $C \mapsto D$

Do đó $(ABC) \mapsto AB, (PXY) \mapsto (I))$

Mà $(I)$ tiếp xúc $AB$ nên ta có ngay $(PXY)$ tiếp xúc $AB$.