Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenqn1998]

cho $x,y \in R$ và $ x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} $

CMR: $3x+4y\leq 5$

 

[TonnyMon97]

 

cho $x,y \in R$ và $ x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} $

CMR: $3x+4y\leq 5$

 

Áp dụng BĐT Bunhia ta có:

$(3x+4y)^2\leq (3^2+4^2)(x^2+y^2)=25(x^2+y^2)$

Mặt khác từ gt và BĐT Bunhia: $(x^2+y^2)^2=(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})^2\leq(x^2+y^2)(2-x^2-y^2)$$\Leftrightarrow$$(x^2+y^2)^2\leq(x^2+y^2)(2-(x^2+y^2))$$  (x=y=0 thì BĐT hiễn nhiên đúng nên ta xét x,y\neq0$

$\Rightarrow (x^2+y^2)\leq(2-(x^2+y^2))\Rightarrow (x^2+y^2)\leq1$

Từ 2 điều trên ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TonnyMon97: 26-11-2013 - 21:32

[phuocdinh1999]

$x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x(x-\sqrt{1-y^2})+y(y-\sqrt{1-x^2})=0$

$\Leftrightarrow x(\frac{x^2+y^2-1}{x+\sqrt{1-y^2}})+y(\frac{x^2+y^2-1}{y+\sqrt{1-x^2}})=0$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)(\frac{x}{x+\sqrt{1-y^2}}+\frac{y}{y+\sqrt{1-x^2}})=0$

TH1: $x=y=0\Rightarrow 3x+4y=0$

TH2: $x^2+y^2=1$

$(3x+4y)^2\leq (3^2+4^2)(x^2+y^2)=25\Leftrightarrow 3x+4y\leq 5$

Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{3}{5};y=\frac{4}{5}$