Chủ đề này có 1 trả lời

[coolcoolcool1997]

Cho $a,b,c\in [1,4],a+b+2c=8$.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^3+b^3+5c^3$.

Mong mọi người giúp đỡ ạ.

[25 minutes]

Cho $a,b,c\in [1,4],a+b+2c=8$.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^3+b^3+5c^3$.

Mong mọi người giúp đỡ ạ.

Nhận thấy tính đối xứng của $a,b$ và dự đoán dấu bằng khi $a=b=1$ và $c=3$ nên ta sẽ đưa biểu thức về khảo sát the0 biến $c$

Do $a,b \geqslant 1$ nên $(a-1)(b-1)\geqslant 0\Rightarrow ab+1\geqslant a+b$

Khi đó $P=(a+b)^3-3ab(a+b)+5c^3\leqslant (a+b)^3-3(a+b-1)(a+b)+5c^3=(8-2c)^3-3(7-2c)(8-2c)+5c^3$

$\Rightarrow P\leqslant f(c)=-3c^3+84c^2-294c+344$

$\Rightarrow f'(c)=-9c^2+168c-294=0\Leftrightarrow c=\frac{28-7\sqrt{10}}{3}$, do $c \in \left [ 1;3 \right ]$

Lập bảng biến thiên của $f(c)$ ta có $f(c)\leqslant \left \{ f(1);f(3) \right \}=f(3)=137$

                      $\Rightarrow P\leqslant 137$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1, c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 28-11-2013 - 16:52