Mình có bài này mong các bạn giải giùm:
Cho $0<x;y;z<1$. Chứng minh
$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$
Mình đang học lớp 8 nhé.
Thanks.
Edited by shinichikudo201, 29-11-2013 - 20:24.
Mình có bài này mong các bạn giải giùm:
Cho $0<x;y;z<1$. Chứng minh
$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$
Mình đang học lớp 8 nhé.
Thanks.
Edited by shinichikudo201, 29-11-2013 - 20:24.
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
Mình có bài này mong các bạn giải giùm:
Cho $0<x;y;z<1$. Chứng minh
$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}$
Mình đang học lớp 8 nhé.
Thanks.
chứng minh cái j ????
Mình có bài này mong các bạn giải giùm:
Cho $0<x;y;z<1$. Chứng minh
$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$
Mình đang học lớp 8 nhé.
Thanks.
sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có : $\left ( 1+y+xz \right )\left ( x^{2}+y+\frac{z}{x} \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{2}$
Suy ra $\frac{x}{1+y+xz}\leq \frac{x^{3}+xy+z}{\left ( x+y+z \right )^{2}}$
Đánh giá tương tự ta thu được $\sum \frac{x}{1+y+xz}\leq \sum \frac{x^{3}+xy+z}{\left ( x+y+z \right )^{2}}$
khi đó ta cần chứng minh $x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy+yz+zx+x+y+z\leq 3(x+y+z)$
$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy+yz+zx\leq 2(x+y+z)$
Mà 0<x,y,z<1 suy ra $x^{3}<x^{2}<x;y^{3}<y^{2}<y;z^{3}<z^{2}<z$
suy ra $x^{3}+y^{3}+z^{3}$x^{3}+y^{3}+z^{3}
suy ra ta cần cm $xy+yz+zx<x+y+z$ (đúng vì 0<x,y,z<1)
Edited by thuan192, 29-11-2013 - 20:56.
$(x-1)(z-1) > 0 \leftrightarrow xz-x-z+1 > 0 \leftrightarrow xz+1 > x+z$
$\rightarrow \dfrac{x}{1+y+xz } < \dfrac{x}{x+y+z}$
Tương tự cộng từng vế
$\sum \dfrac{x}{1+y+xz} < \dfrac{x+y+z}{x+y+z} < \dfrac{3}{x+y+z}$
Dấu "=" không xảy ra
$(x-1)(z-1) > 0 \leftrightarrow xz-x-z+1 > 0 \leftrightarrow xz+1 > x+z$
$\rightarrow \dfrac{x}{1+y+xz } < \dfrac{x}{x+y+z}$
Tương tự cộng từng vế
$\sum \dfrac{x}{1+y+xz} < \dfrac{x+y+z}{x+y+z} < \dfrac{3}{x+y+z}$
Dấu "=" không xảy ra
Dấu bằng xảy ra mà khi x=y=z=1
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
Dấu bằng xảy ra mà khi x=y=z=1
$x,y,z<1$ mà bạn!
ZION
Sorry mình nhầm cách khác nè:0<x,y,z<1 $\Rightarrow x^{2}< x;y^{2}< y;z^{2}< z$ Ta có: $(1-x)(1-z)> 0\Rightarrow 1+xz> x+z> x^{2}+y^{2}\Rightarrow 1+y+xz> x+y+z> x^{2}+y^{2}+z^{2}\Leftrightarrow \frac{x}{1+y+xz}< \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
Tương tự $\frac{y}{1+z+xy}<\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}};\frac{z}{1+x+yz}<\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
Cộng vế ta có $\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}<\frac{x+y+z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(1)$
Lại có $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})>(x+y+z)^{2}$ (BĐT Schwartz) $\Leftrightarrow \frac{3}{x+y+z}>\frac{x+y+z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}<\frac{3}{x+y+z}$
Edited by yeutoan2604, 02-12-2013 - 20:49.
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
0 members, 1 guests, 0 anonymous users