Chủ đề này có 6 trả lời

[shinichikudo201]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $0<x;y;z<1$. Chứng minh 

$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 29-11-2013 - 20:24

[badboykmhd123456]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $0<x;y;z<1$. Chứng minh 

$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

chứng minh cái j ????

[thuan192]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $0<x;y;z<1$. Chứng minh 

$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :    $\left ( 1+y+xz \right )\left ( x^{2}+y+\frac{z}{x} \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{2}$

      Suy ra $\frac{x}{1+y+xz}\leq \frac{x^{3}+xy+z}{\left ( x+y+z \right )^{2}}$

 Đánh giá tương tự ta thu được  $\sum \frac{x}{1+y+xz}\leq \sum \frac{x^{3}+xy+z}{\left ( x+y+z \right )^{2}}$

  khi đó ta cần chứng minh $x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy+yz+zx+x+y+z\leq 3(x+y+z)$

                                       $\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy+yz+zx\leq 2(x+y+z)$

 Mà 0<x,y,z<1 suy ra $x^{3}<x^{2}<x;y^{3}<y^{2}<y;z^{3}<z^{2}<z$

      suy ra $x^{3}+y^{3}+z^{3}$x^{3}+y^{3}+z^{3}

suy ra ta cần cm $xy+yz+zx<x+y+z$ (đúng vì 0<x,y,z<1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuan192: 29-11-2013 - 20:56

[Johan Liebert]

$(x-1)(z-1) > 0 \leftrightarrow xz-x-z+1 > 0 \leftrightarrow xz+1 > x+z$

 

$\rightarrow \dfrac{x}{1+y+xz } < \dfrac{x}{x+y+z}$

 

Tương tự cộng từng vế

 

$\sum \dfrac{x}{1+y+xz} < \dfrac{x+y+z}{x+y+z} < \dfrac{3}{x+y+z}$

 

Dấu "=" không xảy ra

[yeutoan2604]

$(x-1)(z-1) > 0 \leftrightarrow xz-x-z+1 > 0 \leftrightarrow xz+1 > x+z$

 

$\rightarrow \dfrac{x}{1+y+xz } < \dfrac{x}{x+y+z}$

 

Tương tự cộng từng vế

 

$\sum \dfrac{x}{1+y+xz} < \dfrac{x+y+z}{x+y+z} < \dfrac{3}{x+y+z}$

 

Dấu "=" không xảy ra

Dấu bằng xảy ra mà khi x=y=z=1

[datcoi961999]

Dấu bằng xảy ra mà khi x=y=z=1

$x,y,z<1$ mà bạn!

[yeutoan2604]

Sorry mình nhầm cách khác nè:0<x,y,z<1 $\Rightarrow x^{2}< x;y^{2}< y;z^{2}< z$ Ta có: $(1-x)(1-z)> 0\Rightarrow 1+xz> x+z> x^{2}+y^{2}\Rightarrow 1+y+xz> x+y+z> x^{2}+y^{2}+z^{2}\Leftrightarrow \frac{x}{1+y+xz}< \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Tương tự $\frac{y}{1+z+xy}<\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}};\frac{z}{1+x+yz}<\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 

Cộng vế ta có $\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}<\frac{x+y+z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(1)$

Lại có $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})>(x+y+z)^{2}$ (BĐT Schwartz) $\Leftrightarrow \frac{3}{x+y+z}>\frac{x+y+z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}<\frac{3}{x+y+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2604: 02-12-2013 - 20:49