Chủ đề này có 1 trả lời

[haitaczizi]

Cho a,b,c>0.CMR:

$\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$

[Hoang Tung 126]

BĐT $< = > \sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+(\frac{b}{a})^2}\geq 1$

Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z= > xyz=1$

Do $xyz=1$ nên đặt $x=\frac{mn}{p^2},y=\frac{pn}{m^2},z=\frac{pm}{n^2}$

BĐT $< = > \sum \frac{1}{1+\frac{mn}{p^2}+(\frac{mn}{p^2})^2}=\sum \frac{p^4}{p^4+p^2mn+m^2n^2}\geq \frac{(\sum p^2)^2}{\sum p^4+pmn(\sum p)+\sum m^2n^2}=B$

(Do áp dụng bđt Bunhiacopxki)

 Do đó ta cần CM :$B\geq 1< = > (\sum p^2)^2\geq \sum p^4+pmn(\sum p)+\sum m^2n^2< = > \sum m^2n^2\geq pmn(\sum p)$

Nhưng bđt này luôn đúng theo AM-GM có :$m^2n^2+n^2p^2\geq 2\sqrt{m^2n^4p^2}=2mnp^2$

Thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c