Chủ đề này có 1 trả lời

[thong7cnc]

Cho hàm số $$f(x)=  \left\{\begin{matrix}\frac{3-x^{2}}{2} &(0 \le x \le 1)  & \\ \frac{1}{x}& (1<x<+\infty )) & \end{matrix}\right.$$

 

 

 

Chứng minh hàm f(x)thoảmãn các điều kiện của định lý Lagrange trên đoạn [0, 2], 

tìm các giá trịtrung gian c trong công thức sốgia hưu hạn trong trườn hợp này.

 

Em không biết  tìm giá trị trung gian thế nào, Theo đề bài là các giá trị trung gian. Em định chia ra 2 khoảng [0,1] và [1,2] do ở đây có 2 đạo hàm rồi theo công thức số gia hữu hạn tìm c.Tuy nhiên nếu theo cách lập luân đó thì em có thể chia ra rất nhiều khoảng và ra rất nhiều c nên em không biết làm sao nữa.

Nhờ các thầy cô giải giúp em ạ.Em cảm ơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-12-2013 - 09:13

[phudinhgioihan]

 

Cho hàm số $$f(x)=  \left\{\begin{matrix}\frac{3-x^{2}}{2} &(0 \le x \le 1)  & \\ \frac{1}{x}& (1<x<+\infty )) & \end{matrix}\right.$$

Chứng minh hàm f(x)thoảmãn các điều kiện của định lý Lagrange trên đoạn [0, 2], 

tìm các giá trịtrung gian c trong công thức sốgia hưu hạn trong trườn hợp này.

 

Em không biết  tìm giá trị trung gian thế nào, Theo đề bài là các giá trị trung gian. Em định chia ra 2 khoảng [0,1] và [1,2] do ở đây có 2 đạo hàm rồi theo công thức số gia hữu hạn tìm c.Tuy nhiên nếu theo cách lập luân đó thì em có thể chia ra rất nhiều khoảng và ra rất nhiều c nên em không biết làm sao nữa.

Nhờ các thầy cô giải giúp em ạ.Em cảm ơn

 

 

Hiển nhiên $f$ khả vi trên $[0;1]$ và $(1;+\infty) $. Tại $x=1$

 

$$\lim_{x \to 1^-} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^-}\dfrac{\frac{3-x^2}{2}-1}{x-1}=-1$$

 

$$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=-1$$

 

Suy ra $\lim_{x \to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ nên $f'(1)$ tồn tại và $f'(1)=-1$

 

Như vậy $f$ khả vi trên $[0;+\infty)$ do đó cũng khả vi trên $[0;2]$ tức thoả điều kiện của định lý Lagrange.

 

$$f'(x)= \left\{\begin{matrix}-x & 0 \le x \le 1 \\ -\frac{1}{x^2} & x>1 \end{matrix}\right. $$

 

$f(2)-f(0)=-1=(2-0)\frac{-1}{2}=(2-0)f'(\frac{1}{2})$

 

Tức giá trị trung gian cần tìm trong công thức số gia hữu hạn là $\frac{1}{2}$