Chủ đề này có 1 trả lời

[mnguyen99]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa $\left\{\begin{matrix}1\leq z\leq min\left \{ x,y \right \} \\x+z\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3} \\y\sqrt{3}+z\sqrt{10}\geq 2\sqrt{10} \end{matrix}\right.$

tìm max D=$\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{y^{2}}+\frac{3}{z^{2}}$

[neversaynever99]

Bài này sử dụng phép nhóm Abel thôi!

Ta có

$D=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+2(\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})$

Ta chuyển về 2 bài toán 

$1,\left\{\begin{matrix} x\geq z\geq 1 & \\x+z\sqrt{3} \geq 2\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

Tìm Max $A=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$

$2,\left\{\begin{matrix} y\geq z\geq 1 & \\y\sqrt{3}+z\sqrt{10} \geq 2\sqrt{10} & \end{matrix}\right.$

Tìm Max $B=\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$

Giải 1:

Ta có

$\frac{1}{3}+1=\frac{x^{2}}{3}.\frac{1}{x^{2}}+z^{2}.\frac{1}{z^{2}}=(\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{x^{2}}).\frac{z^{2}}{1}+(\frac{x^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{1})\frac{1}{x^{2}}$

Mặt khác ta có

$x+z\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}+z\geq 2\Rightarrow 2(\frac{x^{2}}{3}+z^{2})\geq 4\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}+z^{2}\geq 2$

Do vậy 

$\frac{1}{3}+1=(\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{x^{2}})\frac{z^{2}}{1}+(\frac{x^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{1})\frac{1}{x^{2}}\geq \frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{x^{2}}+2.\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}}(do :z\geq 1)$

Giải 2:Làm tương tự 1 ta có được

$\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\leq \frac{13}{10}$

Do đó $D=A+2B\leq \frac{4}{3}+2.\frac{13}{10}=\frac{59}{15}$