Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyen Duc Thuan]

Cho $x>0$ Chứng minh rằng:

 $x^5>\frac{5x}{2}-\frac{25}{12}$

[letankhang]

Cho $x>0$ Chứng minh rằng:

 $x^5>\frac{5x}{2}-\frac{25}{12}$

Ta có :
$x^{2}\geq \frac{5}{2}x-\frac{25}{16}\Rightarrow x^{2}-\frac{25}{48}\geq \frac{5}{2}x-\frac{25}{12}$
Vậy ta cần chứng minh :
$x^{5}> x^{2}-\frac{25}{48}$
Đặt : $x^2=y$
$BDT\Leftrightarrow y^{3}-y^{2}+\frac{25}{48}> 0$

BĐT trên luôn đúng với mọi $y>0$ nên ta có $DPCM$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 04-12-2013 - 22:27

[Nguyen Duc Thuan]

Ta có :
$x^{2}\geq \frac{5}{2}x-\frac{25}{16}\Rightarrow x^{2}-\frac{25}{48}\geq \frac{5}{2}x-\frac{25}{12}$
Vậy ta cần chứng minh :
$x^{5}> x^{2}-\frac{25}{48}$
Đặt : $x^2=y$
$BDT\Leftrightarrow y^{3}-y^{2}+\frac{25}{48}> 0$

BĐT trên luôn đúng với mọi $x>0$ nên ta có $DPCM$

Em hơi lơ mơ chỗ này?

[letankhang]

Em hơi lơ mơ chỗ này?

Bạn áp dụng phương pháp Cardano tìm nghiệm của $PT$ thì chỉ được 1 nghiệm $a$ :
$y^{3}-y^{2}+\frac{25}{48}=(y-a)(y^{2}+by+c)$
Do $PT$ chỉ có 1 nghiệm :

$\Rightarrow y^{2}+by+c> 0$
Nghiệm $a$ tìm được bé hơn $0$ lại có $x>0$ nên BĐT trên được chứng minh.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 04-12-2013 - 22:32

[phuocdinh1999]

Cách khác (dễ hơn):

$x^5+\frac{25}{12}>x^5+2=x^5+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 5\sqrt[5]{x^5.\frac{1}{16}}>\frac{5}{2}x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 05-12-2013 - 13:17

[trantuananh9a]

Cách khác (dễ hơn):

$x^5+\frac{25}{12}>x^5+2=x^5+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 5\sqrt[5]{x^5.\frac{1}{16}}>\frac{5}{2}x$

Cách này khá hay rễ hiểu . Nhưng dùng nhiều cách so sánh liên tiếp