Chủ đề này có 6 trả lời

[hettien]

 

[trantuananh9a]

Câu a:

 $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=a^2+b^2+c^2+(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a})+(\frac{a^3}{c}+\frac{c^3}{a})+(\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{b})$

áp dụng BĐT Cauchy 

$\geq a^2+b^2+c^2+cab+2ac+2bc=(a+b+c)^2$

ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trantuananh9a: 05-12-2013 - 19:49

[Phuong Thu Quoc]

a. Như trên

b. Chuẩn hóa $a+b+c=3$ ta phải chứng minh $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3\left ( a ^{2}+b^{2}+c^{2}\right )$

BĐT này đơn giản rồi

Do $3\left ( a ^{2}+b^{2}+c^{2}\right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}=9\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$

Mặt khác theo BCS ta có $3\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )=\left ( a+b+c \right )\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

Từ đó có đpcm

[iumath]

cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1. CMR:$\left ( \frac{1}{a} \right-1 )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c} -1\right )\geq 8$

[25 minutes]

cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1. CMR:$\left ( \frac{1}{a} \right-1 )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c} -1\right )\geq 8$

BĐT $\Leftrightarrow \frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{abc}\geqslant 8$

        $\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8abc$

BDDT trên luôn đúng theo AM-GM 

               $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$

               $b+c\geqslant 2\sqrt{bc}$

               $c+a\geqslant 2\sqrt{ac}$

Đẳng thức xảy ra khi $3a=3b=3c=1$

[iumath]

BĐT $\Leftrightarrow \frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{abc}\geqslant 8$

        $\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8abc$

BDDT trên luôn đúng theo AM-GM 

               $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$

               $b+c\geqslant 2\sqrt{bc}$

               $c+a\geqslant 2\sqrt{ac}$

Đẳng thức xảy ra khi $3a=3b=3c=1$

mình làm như thế này, mọi người nhận xét giùm:$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1$

BDT$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1\geq 8$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$

Thật vậy: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Áp dụng bđt cosi ta được:

               $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

               $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

Nên:   $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

          $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1\geq 8$

$\Rightarrow ĐPCM$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iumath: 06-12-2013 - 21:25

[iumath]

mình làm như thế này, mọi người nhận xét giùm:$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1$

BDT$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1\geq 8$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$

Thật vậy: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Áp dụng bđt cosi ta được:

               $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

               $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

Nên:   $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

          $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1\geq 8$

$\Rightarrow ĐPCM$

xem giúp mình đi! mới thi chọn hm qua đó!