1 reply to this topic

[VNSTaipro]

Với $a,b,c$ là các số không âm. Chứng minh:

$\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{\prod (a+b)}\geq 2$

[Hoang Tung 126]

Ta có :$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=\frac{1}{2}\sum (a-b)^2$

          $(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=\sum a(b-c)^2$

BĐT $< = > (\frac{\sum a^2}{\sum ab}-1)+(\frac{8abc}{\prod (a+b)}-1)\geq 0< = > \frac{\sum (a-b)^2}{2(\sum ab)}-\frac{\sum c(a-b)^2}{\prod (a+b)}\geq 0< = > \sum (a-b)^2(\frac{1}{2(\sum ab)}-\frac{c}{\prod (a+b)})\geq 0$

Dễ dang chứng minh được $\frac{1}{2\sum ab}-\frac{c}{\prod (a+b)}> 0= > \sum (a-b)^2(\frac{1}{2(\sum ab)}-\frac{c}{\prod (a+b)})\geq 0$(đpcm)