Chứng minh tồn tại số tự nhiên k sao cho $2010^{k}-1\vdots 2011^{10}$
$2010^{k}-1\vdots 2011^{10}$
Bắt đầu bởi muamuaha125, 07-12-2013 - 23:20
#2
Đã gửi 07-12-2013 - 23:33
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Chứng minh tồn tại số tự nhiên k sao cho $2010^{k}-1\vdots 2011^{10}$
Xét $2011^{10}+1$ số : $2010;2010^{2};2010^{3};...;2010^{2011^{10}+1}$
Tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho $2010^{10}$
Giả sử 2 số đó là : $2010^{m};2010^{n}$ $(m>n)$
$\Rightarrow 2011^{10}| 2010^{n}(2010^{m-n}-1)$
Mà : $(2011^{10};2010^{n})=1$
$\Rightarrow 2011^{10}| 2010^{m-n}-1$
Áp dụng đinh lí Euler :
$\Rightarrow m-n=2011^{10}(1-\frac{1}{2011})=2011^{9}.2010$
Vậy số $k$ cần tìm là : $k=2010.2011^{9}$
- Trang Luong, canhhoang30011999, muamuaha125 và 2 người khác yêu thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
