Chủ đề này có 10 trả lời

[Viet Hoang 99]

Trường THCS Lê Quý Đôn             ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THÁNG 12-MÔN TOÁN

 

Ngày 08-12-2013

 

Bài 1: (3,0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. $\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỷ.
2. $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố.

Bài 2: (3,0 điểm): Đa thức $F(x)$ chia cho đa thức $x^{2}+x+1$ dư $1-x$ và chia cho đa thức $x^{2}-x+1$ dư $3x+5$. Tìm dư của đa thức $F(x)$ chia cho đa thức $x^{4}+x^{2}+1$.

Bài 3: (4,0 điểm):
$a/$ Cho hệ: $\left\{\begin{matrix}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 & & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{a^{2}+1}{a} & & \end{matrix}\right.$

Với giá trị nào của $a$ thì hệ pt có ít nhất 1 nghiệm $x>0,y>0$, khi đó hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ.

$b/$ Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2m\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=m^{3}$

Bài 4: (2,0 điểm): Cho $a,b,c>0$ t/m: $a+b+c=1$. Tìm $Max$ $M=\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}$

Bài 5: (3,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $G$ đến $BC,CA,AB$. Chứng minh: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq 6\sqrt{3}$

Bài 6: (3.0 điểm): Cho hình vuông $ABCD$, có độ dài cạnh bằng $a$. $E$ là 1 điểm di chuyển trên $CD$ ($E$ khác $C,D$). Đường thẳng $AE$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$, đường thẳng vuông góc với $AE$ tại $A$ cắt đường thẳng $CD$ tại $K$. Cm:
$a/$ $\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}$ không đổi.

$b/$ $cos\angle AKE=sin\angle EKF.cos\angle EFK+sin\angle EFK.cos\angle EKF$

Bài 7: (2,0 điểm): Trong hình chữ nhật kích thước $1mx2m$ lấy $201$ điểm tuỳ ý.

Cmr: Luôn tồn tại $5$ điểm ở trong một vòng tròn bán kính $\frac{1}{7}m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-12-2013 - 19:57

[Viet Hoang 99]

 

 

Bài 6: (3.0 điểm): Cho hình vuông $ABCD$, có độ dài cạnh bằng $a$. $E$ là 1 điểm di chuyển trên $CD$ ($E$ khác $C,D$). Đường thẳng $AE$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$, đường thẳng vuông góc với $AE$ tại $A$ cắt đường thẳng $CD$ tại $K$. Cm:
$a/$ $\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}$ không đổi.

$b/$ $cos\angle AKE=sin\angle EKF.cos\angle EFK+sin\angle EFK.cos\angle EKF$

 

a/$\widehat{KAD}=\widehat{BAF}$ (phụ $\widehat{DAF}$)

$\Rightarrow \Delta ADK=\Delta ABE(g-c-g)$

$\Rightarrow AK=AE$

Như vậy $\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AK^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AD^{2}}=\frac{1}{a^{2}}$ không đổi

 

b/$cos\angle AKE=sin\angle EKF.cos\angle EFK+sin\angle EFK.cos\angle EKF$

$\Leftrightarrow \frac{KD}{AK}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{CF}{KF}+\frac{CK}{KF})$

$\Leftrightarrow \frac{KD}{AK}=\frac{\frac{KF}{AF}}{2}(\frac{CF+CK}{KF})$

$\Leftrightarrow \frac{KD}{AK}=\frac{CF+CK}{2AF}$

$\Leftrightarrow 2AF.KD=AK.CF+AK.CK$

$\Leftrightarrow 2KD=CF+CK$ (Do $AK=AF$)

$\Leftrightarrow 2KD=CF+CD+KD\Leftrightarrow KD=CF+CD=CF+BC=BF$ (Luôn đúng)

[Hoang Tung 126]

Bài 4: Áp dụng bđt AM-GM có :$\sqrt{(a^2+abc).\frac{4}{27}}\leq \frac{a^2+abc+\frac{4}{27}}{2}= > \sqrt{a^2+abc}\leq \frac{27a^2+27abc+4}{54}.\frac{\sqrt{27}}{2}$

[Viet Hoang 99]

 

Bài 4: (2,0 điểm): Cho $a,b,c>0$ t/m: $a+b+c=1$. Tìm $Max$ $M=\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}$

 

Bài 4:

$\Rightarrow M\sqrt{\frac{4}{3}}=\sum \sqrt{\frac{4}{3}a(a+bc)}+9\sqrt{\frac{4}{3}}\sqrt{abc}\leq \frac{1}{2}(\frac{7}{3}\sum a+\sum ab)+9\sqrt{\frac{4}{3}}\sqrt{(\frac{a+b+c}{3})^{3}}\leq \frac{1}{2}(\frac{7}{3}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3})+9\sqrt{\frac{4}{3}}\sqrt{\frac{1}{27}}\leq \frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$

$\rightarrow M\leq \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$

[kfcchicken98]

bài 4

$\sqrt{a^{2}+abc}=\sqrt{a}\sqrt{a+bc}=\sqrt{a}\sqrt{a^{2}+ab+ac+bc}=\sqrt{a}\sqrt{(a+b)(a+c)}$

suy ra $\sum \sqrt{a^{2}+abc}=\sum \sqrt{a}\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}\leq \sqrt{\sum (a+b)(a+c)}\leq \sqrt{(\frac{2a+2b+2c}{3})^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$9\sqrt{abc}\leq 9\sqrt{(\frac{(a+b+c)}{3})^{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$

suy ra Max= $\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$

[trandaiduongbg]

 

Bài 1: (3,0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên $x,y,z$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. $\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỷ.
2.  
3. $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố.
4.  

Lời giải:

Đặt $\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}=\frac{a}{b}$ (m,n$\in Z$)

$\Leftrightarrow$ $bx-ay=\sqrt{2013}(by-az)$

$\Rightarrow$ bx-ay=by-az=0

$\Rightarrow$ $xz=y^2$

Đặt gcd(x,z)=d $\Rightarrow$ $x=x_1.d,y=y_1.d$ $gcd(x_1,y_1)=1$

Khi đó: $x^2+y^2+z^2=x^2+xz+z^2$ chia hết cho d nên d=1

Mà $xz=y^2$ $\Rightarrow$ $x=m^2,z=n^2$

Suy ra: $x^2+y^2+z^2=x^2+xz+z^2=m^4+m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2-m^2n^2=(m^2+n^2-mn)(m^2+n^2+mn)=p$ (p nguyên tố)

Mà $m^2+n^2+mn>m^2+n^2-mn$

Nên $m^2-mn+n^2=1$

*Nếu m,n khác dấu thì -mn>0 Khi đó $m^2-mn+n^2=1$>1(vô lí)

*Nếu m,n cùng dấu thì mn>0

Mặt khác $1=m^2-mn+n^2 \geq mn$

$\Rightarrow$ mn=1

$\Rightarrow$ m=n=+-1

$\Rightarrow$ x=y=z=1

Vậy....

Hình như có vấn đề nhỉ?   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 08-12-2013 - 22:04

[Viet Hoang 99]

Bài 1: (3,0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. $\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}=a\in Q$ là số hữu tỷ.
2. $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố.

Bài 1:
Đặt $\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}=a\in Q$

$\Rightarrow ay-az\sqrt{2013}=x-y\sqrt{2013}$

$\Rightarrow ay-x+\sqrt{2013}(y-az)=0$

Vì 2011 không là số chính phương nên ta suy ra $y=az$ và $x=ay=a^{2}z$. Khi đó:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=z^{2}(a^{4}+a^{2}+1)$ là số nguyên tố khi $z^{2}=1$ hay $z=1$ (do $z$ nguyên dương).

Với $z=1$ mà $y=az,x=a^{2}z$ nên để $x,y$ nguyên dương thì $a\geq 1$.

Ta có: $a^{4}+a^{2}+1=(a^{2}+a+1)(a^{2}-a+1)$ là số nguyên tố $\Leftrightarrow a^{2}-a+1=1$ (vì $a^{2}+a+1>a^{2}-a+1$ với $a\geq 1$. Ta tìm được $a=1$. Khi đó $a^{4}+a^{2}+1=3$ là số nguyên tố.

Với $a=1$ thì $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-12-2013 - 20:20

[Viet Hoang 99]

 

Bài 7: (2,0 điểm): Trong hình chữ nhật kích thước $1mx2m$ lấy $201$ điểm tuỳ ý.

Cmr: Luôn tồn tại $5$ điểm ở trong một vòng tròn bán kính $\frac{1}{7}m$

Bài 7:

Chia hình chữ nhật kích thước $1mx2m$ thành $50$ hình vuông cạnh $\frac{1}{5}m$, chia $201$ điểm vào $50$ ô vuông.

Ta có: $201=50.4+1$ nên theo nguyên lý Dirichle phải tồn tại 1 ô chưa ít nhất 5 điểm.

Mỗi ô vuông nội tiếp trong 1 đuờng tròn bán kính là: $\frac{\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(\frac{1}{5})^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$

Mà $(\frac{\sqrt{2}}{10})^{2}=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}<\frac{1}{49}=(\frac{1}{7})^{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{10}<\frac{1}{7}$

Vậy...

[Viet Hoang 99]

 

Bài 2: (3,0 điểm): Đa thức $F(x)$ chia cho đa thức $x^{2}+x+1$ dư $1-x$ và chia cho đa thức $x^{2}-x+1$ dư $3x+5$. Tìm dư của đa thức $F(x)$ chia cho đa thức $x^{4}+x^{2}+1$.

 

Bài 5: (3,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $G$ đến $BC,CA,AB$. Chứng minh: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq 6\sqrt{3}$

 

Bài 2:

Gọi đa thức $Q(x);R(x)$ lần lượt là thương và dư của phép chia đa thức $F(x)$ cho $x^{4}+x^{2}+1$ ($R(x)$ có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3)

Khi đó: $F(x)=(x^{4}+x^{2}+1).Q(x)+R(x)$

$\Leftrightarrow F(x)-R(x)=Q(x)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$

$\Rightarrow F(x)-R(x)\vdots (x^{2}+x+1)$

$\Rightarrow$ Dư trong phép chia $F(x)$ cho $x^{2}+x+1$ bằng dư trong phép chia $R(x)$ cho $x^{2}+x+1$.

Gọi thương phép chia $R(x)$ cho $x^{2}+x+1$ là $mx+n$

$\Rightarrow R(x)=(mx+n)(x^{2}+x+1)+1-x$  (1)

Lập luận tương tự $R(x)$ chia cho $x^{2}-x+1$ được thương là $px+q$ thì:

$\Rightarrow R(x)=(px+q)(x^{2}-x+1)+3x+5$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow (px+q)(x^{2}-x+1)+3x+5=(mx+n)(x^{2}+x+1)+1-x \forall x$

Biến đổi tương đương dùng đồng nhất thức:

$\left\{\begin{matrix}m=p & & \\ m+n=q-p & & \\m+n-1=p-q+3 \\n+1=q+5 \end{matrix}\right.$

Giải hệ tìm được $m=p=-1$; $n=4$; $q=0$

Vậy $R(x)=-2x^{3}+2x^{2}+x+5$

Bài 5:

Kẻ $GE;AH\perp BC$; $Đặt GE=x$

$\Rightarrow \frac{h_{a}}{x}=\frac{AM}{GM}=3$

$\Rightarrow \frac{a.a.h_{a}}{x}=3a^{2}$

$\Rightarrow \frac{2S.a}{x}=3a^{2}$

$\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{3a^{2}}{2S}$

Tương tự $\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{3}{2S}(\sum a^{2})\geq \frac{(\sum a)^{2}}{2S}=\frac{4p^{2}}{2S}=\frac{2p^{2}}{S}.$

Có: $(p-a)+(p-b)+(p-c)\geq 3\sqrt[3]{\prod (p-a)}$

$\Rightarrow p^{3}\geq 27\prod (p-a)$

$\Rightarrow p^{4}\geq 27p\prod (p-a)=27S^{2}$

$\Rightarrow p^{2}\geq 3\sqrt{3}S$

$\Rightarrow \frac{2p^{2}}{S}\geq 6\sqrt{3}$

[phuocdinh1999]

Bài 3: (4,0 điểm):

$a/$ Cho hệ: $\left\{\begin{matrix}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 & & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{a^{2}+1}{a} & & \end{matrix}\right.$

Với giá trị nào của $a$ thì hệ pt có ít nhất 1 nghiệm $x>0,y>0$, khi đó hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ.

$b/$ Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2m\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=m^{3}$

 

Câu b:

ĐK: $0\leq x\leq 1$

Nếu x là nghiệm PT thì (1-x) cũng là nghiệm của PT

PT có nghiệm duy nhất khi $x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Thế vào PT: $2\sqrt{\frac{1}{2}}+2m.\sqrt{\frac{1}{4}}-2\sqrt{\frac{1}{2}}=m^3$

$\Leftrightarrow m=m^3\Leftrightarrow m=0;-1;1$

Thử lại với từng TH là xong

[trandaiduongbg]

 

Bài 3: (4,0 điểm):
$a/$ Cho hệ: $\left\{\begin{matrix}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 & & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{a^{2}+1}{a} & & \end{matrix}\right.$

Với giá trị nào của $a$ thì hệ pt có ít nhất 1 nghiệm $x>0,y>0$, khi đó hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ.

Lời giải:

(I)$\left\{\begin{matrix}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 & & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{a^{2}+1}{a} & & \end{matrix}\right.$

Đặt $m=x+\frac{1}{x}$; $n=y+\frac{1}{y}$ (|m|,|n| $\geq 2$)

Khi đó:

$\left\{\begin{matrix} m+n=4\\ m^2+n^2=\sqrt{2-a^2}+\sqrt{2-\frac{1}{a^2}}+\frac{a^2+1}{a}+4 \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} m+n=4\\ mn=6-\frac{1}{2}.\sqrt{2-a^2}+\frac{1}{2}.\sqrt{2-\frac{1}{a^2}}+\frac{a^2+1}{2a} \end{matrix}\right.$

hpt (I) có ít nhất 1 nghiệm x,y dương $\Leftrightarrow$ $S^2-4P \geq 0$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{2-a^2}+a-2+\sqrt{2-\frac{1}{a^2}}+\frac{1}{a}-2 \geq 0$

$\Leftrightarrow$ $\frac{(a-1)^2}{\sqrt{2-a^2}+a-x}+\frac{\frac{1}{a}-1)^2}{\sqrt{2-\frac{1}{a^2}}+\frac{1}{a}-2} \leq 0$

$\Leftrightarrow$ a=1

Khi đó: hpt(I)$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ x=y=1

Vậy.....