Chủ đề này có 1 trả lời

[HungHuynh2508]

Với $a,b,c> 0$ thõa mãn điều kiện $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}=3$ . Chứng minh $\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\leq 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

[Hoang Tung 126]

ÁP dụng bđt AM-GM  3 số có :$\sqrt[3]{(a+7).8.8}\leq \frac{a+7+8+8}{3}=\frac{a+23}{3}= > \sqrt[3]{a+7}\leq \frac{a+23}{12}$

Tương tự $\sqrt[3]{b+7}\leq \frac{b+23}{12},\sqrt[3]{c+7}\leq \frac{c+23}{12}$

$= > \sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\leq \frac{a+b+c+69}{12}\leq \frac{\frac{a^4+1+1+1}{4}+\frac{b^4+1+1+1}{4}+\frac{c^4+1+1+1}{4}+69}{12}=\frac{a^4+b^4+c^4+285}{48}$

Do đó cần CM :$\frac{a^4+b^4+c^4+285}{48}\leq 2(a^4+b^4+c^4)< = > a^4+b^4+c^4\geq 3$

Hiển nhiên đúng do theo AM-GM có :$a^4+b^4+b^4+1\geq 4ab^2,b^4+c^4+c^4+1\geq 4bc^2,c^4+a^4+a^4+1\geq 4ca^2$

$= > a^4+b^4+c^4\geq 4(ab^2+bc^2+ca^2)-9=4.3-9=3$(đpcm)