Chủ đề này có 2 trả lời

[HungHuynh2508]

Cho $100$ số nguyên dương , mỗi số không lớn hơn $100$ có tổng bằng $200$. Chứng minh rằng trong những số đó ta có thể chọn ra vài số mà có tổng bằng $100$

[Hoang Tung 126]

Gọi 100 số nguyên dương là $a_{1},a_{2}...a_{100}$

Ta có :$a_{1}+a_{2}+...+a_{100}=200$

Gỉa sử không chọn được vài số nào có tổng = 100 .

-Chọn các số có tổng lớn hơn 100 .Gỉa sử $a_{1}+a_{2}+...+a_{99}> 100= > a_{100}< 200-100=100$

Nếu từ $a_{1}= > a_{99}$ các số đều lớn hơn 2 thì  tổng sẽ $> 2.99=191= > a_{100}< 9$ (luôn tìm được tổng các số thỏa mãn )

Nếu từ $a_{1}= > a_{99}$ các số đều $\leq 2$ .Từ $a_{100}< 100$ nên luôn tìm được 

-Chọn các số có tổng $< 100= > a_{1}+a_{2}+,..+a_{99}< 100= > a_{100}> 100$(vô lý)

 Vậy ta có đpcm

[Rias Gremory]

Cho $100$ số nguyên dương , mỗi số không lớn hơn $100$ có tổng bằng $200$. Chứng minh rằng trong những số đó ta có thể chọn ra vài số mà có tổng bằng $100$

Trước hết ta nhận xét : Bài toán là hiển nhiên nếu tất cả các số đều bằng nhau

Ta xét trường hợp trong $100$ số $n_{1},n_{2},...,n_{100}$ đã cho có ít nhất hai số khác nhau, giả sử là $n_{1}$ và $n_{2}$

Xét dãy số gồm $100$ số sau đây : 

$n_{1},n_{2},n_{1}+n_{2},n_{1}+n_{2}+n_{3},...,n_{1}+n_{2}+...+n_{99}$

+ Nếu có một số trong dãy số này chia hết cho $100$ : Vì số này lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $200$ nên nó đúng bằng $100$

+ Nếu không có số nào trong dãy số này chia hết cho $100$

Khi đó trong $100$ số của dãy số trên, tồn tại ít nhất $2$ số có cùng số dư khi chia cho $100$

Do đó hiệu của $2$ số này chia hết cho $100$. Vì hiệu của $2$ số này lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $200$ nên nó bằng $100$ ( hai số này không phải là $n_{1},n_{2}$ )

Vậy ta có ĐPCM