Chủ đề này có 2 trả lời

[Luffy 97]

Cho hai đường tròn $(O;R),(I;r)$ tiếp xúc ngoài nhau tại điểm $P$  ($R>r$). Đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(O),(I)$ theo thứ tự tại $A,M$, đường thẳng $l$ tiếp xúc $(I)$ tại $N$ và cắt $(O)$ tại $B,C$. Gọi $D$ là giao điểm của $l,d$ và $K$ là giao điểm hai đường phân giác trong góc $\angle{ACB}, \angle{ABD}$. Chứng minh $K,M,N$ thẳng hàng

Hình gửi kèm

• 

[BlackSelena]

Chú ý là $AK$ là phân giác ngoài $\angle BAC$, khi đó dùng Ceva-sine cho tam giác $NBA$ là sẽ được thôi nhưng phải tính toán rất trâu bò và khủng khiếp (mình nháp mất 2 trang). Mong là có cách giải khác đẹp và bớt cùn hơn

_________
Update: Có thể bắt chước cách chứng minh bổ đề Sawayama. Có vẻ khả thi đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 10-12-2013 - 08:29

[nguyenthehoan]

Cho hai đường tròn $(O;R),(I;r)$ tiếp xúc ngoài nhau tại điểm $P$  ($R>r$). Đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(O),(I)$ theo thứ tự tại $A,M$, đường thẳng $l$ tiếp xúc $(I)$ tại $N$ và cắt $(O)$ tại $B,C$. Gọi $D$ là giao điểm của $l,d$ và $K$ là giao điểm hai đường phân giác trong góc $\angle{ACB}, \angle{ABD}$. Chứng minh $K,M,N$ thẳng hàng

Trong bài toán, nếu bỏ đi điều kiện $d$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$ thì bài toán vẫn đúng.

Gọi $T$ là giao điểm của $MP$ và $(O)$. Do $(I)$ và $(O)$ tiếp xúc nhau tại $P$ nên ta có 

$\Delta IMP\sim \Delta OTP$ nên $IM//OT$ hay $T$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$ của $(O)$.

Định nghĩa lại $K$ là giao điểm của $MN$ với $TA$. Ta sẽ chứng minh rằng $K$ là tâm bàng tiếp góc $C$ của tam giác $ACB$.

Theo một bổ đề quen thuộc, nếu $K'$ là tâm bàng tiếp góc $C$ thì ta có ngay 

$TK'=TB=TC$ (chứng minh dựa vào biến đổi góc bình thường)

Do đó ta chỉ cần chứng minh $TK=TB$.

Do hai đường tròn vị tự nhau qua $P$ nên qua $P$ dựng tiếp tuyến chung $Px$ thì ta có

$\widehat{MNP}=\widehat{TPx}=\widehat{PAK}$.

Do đó ta có tứ giác $AKNP$ nội tiếp.

Suy ra $\widehat{TKP}=\widehat{TNP}=\widehat{TMK}$

Suy ra $\Delta TKP\sim \Delta TMK$ $\Rightarrow TK^{2}=TP.TM$.

Mặt khác $\widehat{TBP}=\widehat{KAP}=\widehat{PNM}=\widehat{PMB}$

Nên $\Delta TPB\sim \Delta TBM\Rightarrow TB^{2}=TP.TM$

Do đó ta có $TB=TK$. Hay $K$ là tâm bàng tiếp góc $C$ của tam giác $ABC$.

Bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 11-12-2013 - 00:11