Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cho$a,b,c>0$,$abc=\frac{1}{6}$. Cmr : $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 09-12-2013 - 22:16

[bengoyeutoanhoc]

Cho$a,b,c>0$,$abc=\frac{1}{6}$. Cmr : $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

Đặt $a=x, 2b=y, 3c=z$$\Rightarrow xyz=1$

BĐT trở thành $3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Vì $xyz=1$ nên luôn tồn tại $a,b,c$ sao cho $x=\frac{a^{2}}{bc}, y=\frac{b^{2}}{ac}, z=\frac{c^{2}}{ab}$ (gọi nhiều kí tự quá khó nhìn nên lấy tạm a,b,c)

BĐT trở thành 

$3+\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{c^{3}}+\frac{c^{3}}{a^{3}}\geq \frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ac}+\frac{c^{2}}{ab}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ac}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}= \frac{a}{c}\left ( \frac{a}{b} +\frac{b}{c}\right )+\frac{b}{a}\left ( \frac{b}{c} +\frac{c}{a}\right )+\frac{c}{b}\left ( \frac{c}{a} +\frac{a}{b}\right )$

Đây là dạng quen thuộc của BĐT Schur với r=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bengoyeutoanhoc: 09-12-2013 - 23:00

[Frankie nole]

Cái này đề hsg Vĩnh Phúc 12-13 thì phải