Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyenhuyen_AG]

Với ba số dương $x,\;y,\;z$ thỏa mãn $z=\max \{x,\;y,\;z\}.$ Chứng minh rằng $$4(xy+yz+zx)(x^3+y^3+z^3+xyz) \ge 13xyz^2(x+y+z).$$

 

[haitienbg]

Với ba số dương $x,\;y,\;z$ thỏa mãn $z=\max \{x,\;y,\;z\}.$ Chứng minh rằng $$4(xy+yz+zx)(x^3+y^3+z^3+xyz) \ge 13xyz^2(x+y+z).$$

Do sự thuần nhất của hai biến $x,y$ nên ta chuẩn hóa $x+y=2$

$\Rightarrow x^3+y^3\geq 2$.Khi đó

$4(xy+yz+zx)(x^3+y^3+z^3+xyz)\geq 4(xy+2z)(z^3+2+xyz)>4xy(z^3+2)+8z(z^3+2+xyz)$

Cần cm:

$4xy(z^3+2)+8z(z^3+2+xyz)\geq 13xyz^2(2+z)\Leftrightarrow 8z(2+z^3)\geq xy(9z^3+18z^2-8)$

Lại có: $xy\leq1$ nên cần cm:

$8z^4-9z^3-18z^2+16z+8\geq 0\Leftrightarrow (2z-3)^2(2z^2+2z)+(z-1)(7(z-1)^2+1)+(3z-4)^2\geq 0$

Đẳng thức ko xảy ra