Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Cm:
A = $\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+c+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1
Bắt đầu bởi Vu Thuy Linh, 13-12-2013 - 20:19
#1
Đã gửi 13-12-2013 - 20:19
Vu Thuy Linh
-
- Thành viên
-
- 556 Bài viết
Thiếu úy
#2
Đã gửi 13-12-2013 - 20:28
Phuong Thu Quoc
-
- Thành viên
-
- 784 Bài viết
Trung úy
Theo Cauchy-Schwarz có
$A\left ( a+b+c \right )\geq \left ( \frac{a}{a+ab+1}+\frac{b}{b+bc+1}+\frac{c}{c+ca+1} \right )^{2}$
Dễ dàng chứng minh được với $abc=1 thì \frac{a}{a+ab+1}+\frac{b}{b+bc+1}+\frac{c}{c+ca+1} =1$
Thật vậy $\frac{a}{a+ab+1}+\frac{b}{b+bc+1}+\frac{c}{c+ca+1}=\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{ab+abc+a}+\frac{c}{c+ca+abc}=\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{a+ab+1}+\frac{1}{a+ab+1}=1$
BĐT có thể dễ dàng suy ra từ các điều trên...
- buiminhhieu, Trang Luong, Vu Thuy Linh và 3 người khác yêu thích
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
