Chủ đề này có 1 trả lời

[doanlemanhtung191199]

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & \\abc=8 & \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:                           $P=\sum \frac{1}{2a+b+6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doanlemanhtung191199: 14-12-2013 - 16:55

[Johan Liebert]

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & \\abc=8 & \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:                           $P=\sum \frac{1}{2a+b+6}$

$\dfrac{1}{2a+b+6} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{ab}+2\sqrt{2a}+4}=\dfrac{1}{2(\sqrt{ab}+\sqrt{2a}+2)}$

 

Tương tự cộng từng vế

 

$2P \leq \dfrac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{2a}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{cb}+\sqrt{2b}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{2c}+2}$

 

Biết đổi tương đương

 

$\dfrac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{2a}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{cb}+\sqrt{2b}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{2c}+2}$

 

$=\dfrac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{2a}+2}+\dfrac{\sqrt{a/2}}{2+\sqrt{ab}+\sqrt{2a}}+\dfrac{\sqrt{ab/4}}{\sqrt{2a}+2+\sqrt{ab}}$

 

$=\dfrac{1+\sqrt{a/2}+\sqrt{ab/4}}{\sqrt{2a}+2+\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2}$

 

$\leftrightarrow 2P \leq 0,5 \leftrightarrow P \leq 0,25$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 14-12-2013 - 18:56