Chủ đề này có 1 trả lời

[doanlemanhtung191199]

Một tứ giác có bốn cạnh là 4 số tự nhiên sao cho tổng của 3 số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại.Chứng minh tứ giác này có hai cạnh bằng nhau.

[Forgive Yourself]

Một tứ giác có bốn cạnh là 4 số tự nhiên sao cho tổng của 3 số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại.Chứng minh tứ giác này có hai cạnh bằng nhau.

 

Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là $a,b,c,d(a,b,c,d\in \mathbb{N}^*)$ với $a>b>c>d$   ($*$)

 

Do tứ giác lồi nên $a<b+c+d<3a$ suy ra $2a<a+b+c+d<4a$

 

Từ giả thiết ta thấy $a+b+c+d$ chia hết cho các số $a,b,c,d$ nên $a+b+c+d=3a$   ($1$)

 

Đặt $a+b+c+d=mb$   ($2$) và $a+b+c+d=nc$   ($3$) với $m,n\in \mathbb{N}^*$

 

Do $a>b>c$ nên $n>m>3 \Rightarrow n\geq 5,m\geq 4$

 

Cộng vế theo vế ($1$), ($2$), ($3$) ta được

 

$3(a+b+c+d)=3a+mb+nc\geq 3a+4b+5c\Rightarrow (b-d)+2(c-d)\leq 0$ mẫu thuẫn với ($*$)

 

Vậy tứ giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau.