Chủ đề này có 1 trả lời

[ht2pro102]

Tìm tất cả các đa thức bậc n có n nghiệm thỏa:

$P(x).P(-x)=P(x^2-1)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ht2pro102: 15-12-2013 - 15:10

[davidsilva98]

Dễ thấy $P(x)$ không là đa thức không cũng không là đa thức hằng

Đặt $n=degP(x)$$$=>\left\{\begin{matrix} degP(-x)=n\\ degP(x^{2}-1)=2n \end{matrix}\right.$

$=>n^{2}=2n=>n=2$. Vì vậy đặt $P(x)=ax^{2}+bx+c$$=>\left\{\begin{matrix} P(-x)=ax^{2}-bx+c\\ P(x^{2}-1)=a(x^{2}-1)^{2}+b(x^{2}-1)+c \end{matrix}\right.$

$=>(ax^{2}+bx+c)(ax^{2}-bx+c)=a(x^{2}-1)^{2}+b(x^{2}-1)+c$

$=>a^{2}x^{4}+x^{2}(2ac-b^{2})+c^{2}=ax^{4}+x^{2}(b-2a)+a-b+c$

$\left\{\begin{matrix} a^{2}=a\\ 2ac-b^{2}=b-2a \\ c^{2}=a-b+c \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1 \\ c=0 \end{matrix}\right.$

Vậy $P(x)=x^{2}+x$