Chủ đề này có 1 trả lời

[Cao thu]

$Cho x,y,z\in [-1;1]$. x+y+z=0.Tìm max: $x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 15-12-2013 - 21:24

[Forgive Yourself]

$Cho x,y,z\in [-1;1]$. x+y+z=0.Tìm max: $x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Từ giả thiết bài toán ta có:

 

$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\Leftrightarrow xyz+x+y+z-xy-yz-zx-1\leq 0\Leftrightarrow xy+yz+zx+1\geq xyz$ 

 

$(x+1)(y+1)(z+1)\geq 0\Leftrightarrow xyz+x+y+z+xy+yz+zx+1\geq 0\Leftrightarrow xyz\geq -(xy+yz+zx)-1$   

 

Từ đó ta có:

 

$xy+yz+zx+1\geq -(xy+yz+zx)-1\Leftrightarrow -2(xy+yz+zx)\leq 2$

 

Mà: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=-2(xy+yz+zx)\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq 2$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=-1,y=0,z=1$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 15-12-2013 - 22:21