Đã chuyển về BOX THCS thì chém cũng nhẹ thôi..
Nếu đã sử dụng $\sum$ thì cũng giải thích vài nét chứ !
------------------------------------------------------
P/s:
Đã chuyển về BOX THCS thì chém cũng nhẹ thôi..
Nếu đã sử dụng $\sum$ thì cũng giải thích vài nét chứ !
------------------------------------------------------
P/s:
7) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max A=a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}$
8) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max S=a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}+b\sqrt[3]{c^{2}+a^{2}}+c\sqrt[3]{a^{2}+b^{2}}$
7)
$A=\sum a\sqrt[3]{1+b-c}\Leftrightarrow A=\sum a\sqrt[3]{a+2b}=\sum a\sqrt[3]{(a+2b).1.1}\leq \sum a.\frac{a+2b+2}{3}=\frac{(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)}{3}=1$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$
8)
$S=\sum a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}=\sum \sqrt[3]{a^{3}(b^{2}+c^{2})}=\sum \sqrt[6]{(a^{2})^{3}.(b^{2}+c^{2})^{2}}=\sum \sqrt[6]{(2a^{2})^{3}.(b^{2}+c^{2})^{2}.8}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}\leq \sum \frac{2a^{2}.3+(b^{2}+c^{2}.2+8)}{6}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=\sum \frac{6a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+8}{6}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=\frac{10(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24}{6}=\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=12$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=2$
Đã chuyển về BOX THCS thì chém cũng nhẹ thôi..
Nếu đã sử dụng $\sum$ thì cũng giải thích vài nét chứ !
------------------------------------------------------
P/s:
Spoiler
Cái $\sum$: sigma (xích ma) các bạn tự tra google nha.
Có 2 loại $\sum$ nhưng mình dùng chủ yếu loại $\sum_{cyc}$ (mọi người trên diễn đàn viết tắt luốn $\sum$) tức là hoán vị.
Đọc qua topic chắc các bạn đã hiểu về $\sum$.
Ví dụ :
Đề bài cho các số a;b;c thì $\sum a=\sum b=\sum c=a+b+c$
(nhưng người ta dùng $\sum a$ chứ chẳng ai dùng $\sum b$; $\sum c$)
Đề bài cho các số a;b;c;d thì $\sum a=\sum b=\sum c=\sum d=a+b+c+d$
$\sum \frac{1}{a}=...=\sum \frac{1}{d}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$
$\sum ab=...=\sum da=ab+bc+ca+da$.
Nó chỉ là hoán vị kiểu vậy thôi.
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:
2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:
Bài tập:
<tiếp theo>
9) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$ ( Viết tắt : $\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$)
10) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$ (Viết tắt : $\sum \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$)
3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:
1) Cmr: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c\forall a;b;c>0$ (Viết tắt : $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum a\forall a;b;c>0$)
Giải:
$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a$
cmtt:...
$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq 2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$
2) Cmr:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a\forall a;b;c>0$
3) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}\forall a;b;c>0$
4) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a\forall a;b;c>0$
5) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab\forall a;b;c>0$
6) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}\forall a;b;c>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:08
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:
3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:
1) Cmr: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c\forall a;b;c>0$ (Viết tắt : $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum a\forall a;b;c>0$)Giải:
$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a$
cmtt:...
$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq 2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$2) Cmr:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a\forall a;b;c>0$3) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}\forall a;b;c>0$
4) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a\forall a;b;c>0$
5) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab\forall a;b;c>0$
6) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}\forall a;b;c>0$
2)
$\frac{a^{3}}{b^{2}}+b+b\geq 3a$ (Cauchy)
cmtt...
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}+2(a+b+c)\geq 3a\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$
3)
Cách 1:
$\frac{a^{3}}{b^{2}}+a\geq 2.\frac{a^{2}}{b}$ (Cauchy)
cmtt....
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}+a+b+c\geq 2.\sum \frac{a^{2}}{b}$
Mà $\sum a \leq \sum \frac{a^{2}}{b}$ (Đã CM ở bài 1)
Trừ 2 vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều trên ta có:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$
Cách 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau bằng cách biến đổi tương đương:
$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\forall x;y>0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}\geq 0$ đúng với mọi $x;y>0$
$\frac{a^{3}}{b^{2}}+b=\frac{a^{3}+b^{3}}{b^{2}}\geq \frac{ab(a+b)}{b^{2}}=\frac{a^{2}}{b}+a$
cmtt...
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$
4)
$\frac{a^{3}}{bc}+b+c\geq 3a$ (Cauchy)
cmtt...
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a$
5)
$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2}$ (Cauchy)
cmtt...
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}+\sum ab\geq 2\sum a^{2}$
Mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$ (BĐT này chứng minh bằng cách nhân 2 rồi biến đổi tương đương)
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}+\sum ab\geq 2\sum ab\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab$
6)
$\frac{a^{5}}{b^{3}}+ab+b^{2}\geq 3a^{2}$
cmtt...
$\Rightarrow \sum \frac{a^{5}}{b^{3}}+\sum ab\geq 2a^{2}$
Mà $\sum ab\leq \sum a^{2}$
Trừ 2 BĐT ngược chiều ta có:
$\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
7) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{4}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$
8) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$
9) Cmr: $\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}\forall a;b;c>0$
10) Cmr: $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}\forall a;b;c>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:09
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
7) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{4}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$
Chỉ dùng Cauchy:
$2\frac{a^5}{b^3}+a^2=\frac{a^5}{b^3}+\frac{a^5}{b^3}+a^2 \geq 3\frac{a^4}{b^2} \Rightarrow 2\sum \frac{a^5}{b^3}+\sum a^2 \geq 3\sum \frac{a^4}{b^2}$
Mà $\frac{a^4}{b^2}+b^2 \geq 2a^2$ $\Rightarrow \sum \frac{a^4}{b^2} \geq \sum a^2$
Từ hai BĐT trên $\Rightarrow \sum \frac{a^5}{b^3} \geq \sum \frac{a^4}{b^2}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:11
8) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 21:43
Chỉ dùng Cauchy:
$\frac{a^5}{b^3}+\frac{a^5}{b^3}+a^2 \geq 3\frac{a^4}{b^2}$ $\Rightarrow 2\sum \frac{a^5}{b^3}+\sum a^2 \geq 3\sum \frac{a^4}{b^2}$
Mà $\frac{a^4}{b^2}+b^2 \geq 2a^2$ $\Rightarrow \sum \frac{a^4}{b^2} \geq \sum a^2$
Từ hai BĐT trên $\Rightarrow \sum \frac{a^5}{b^3} \geq \sum \frac{a^4}{b^2}.$
Làm rõ hơn chút, chỗ đó là cauchy 3 số.
$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2 \Rightarrow \frac{a^3}{b^3}+1 \geq \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}$$ \Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^3} + 3 \geq \sum \frac{a^2}{b^2}+ \sum \frac{a}{b}$Mà $ \sum \frac{a}{b} \geq 3$ nên ta có $ \sum \frac{a^3}{b^3} \geq \sum \frac{a^2}{b^2}$
Bước cuối tắt.
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Làm rõ hơn chút, chỗ đó là cauchy 3 số.
Đã chỉnh.
Bước cuối tắt.
Cauchy cho 3 số $\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}$ thì mình nghĩ không cần viết dài thêm???
10) Cmr: $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}\forall a;b;c>0$
$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2=ab(a+b)$
$\Rightarrow a^3+b^3+abc \geq ab(a+b+c) \Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} = \frac{1}{abc}$ (đưa $\frac{1}{a+b+c}$ ra ngoài rồi quy đồng mẫu các phân thức bên trong lên)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:29
9) Cmr: $\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}\forall a;b;c>0$
9)
Áp dụng Cauchy 5 số:
$\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{a^{3}}\geq 5.\frac{1}{b^{3}}$
cmtt...
$\Rightarrow 3\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}+2\sum \frac{1}{a^{3}}\geq \sum 5.\frac{1}{a^{3}}\Leftrightarrow 3\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq 3\sum \frac{1}{a^{3}}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$
12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$
13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$
14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$
15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$
16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:06
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$
$\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}= \sum \frac{a }{ \sqrt{ a^{2}+ab+bc+ac}}= \sum \frac{ a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}$
áp dụng bđt cô si ta có
$\sum \frac{ a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}\leq\sum \frac{1}{2}(\frac{ a}{ a+b}+\frac{ a}{ a+c})= \frac{3}{2}$
vậy ta được đpcm
13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$
$\sum \frac{a^3}{(b+2c)}=\sum \frac{a^4}{ab+2ac}\geq \sum \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 07-02-2014 - 22:44
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$
$\sum \frac{a^3}{(b+2c)}=\sum \frac{a^4}{ab+2ac}\geq \sum \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Cách 2:
$\frac{a^3}{b+2c}+\frac{a(b+2c)}{9}\geq 2\sqrt{\frac{a^4}{9}}=\frac{2}{3}.a^2$
cmtt...
$\sum \frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{ab+bc+ca}{3}\geq \frac{2}{3}\sum a^2$
Mà $\frac{1}{3}\sum ab\leq \frac{1}{3}\sum a^2$
Trừ theo vế 2 bất đẳng thức ngược chiều ta được:
$\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}\sum a^2=\frac{1}{3}$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$
TT bài 13:
$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$
Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 07-02-2014 - 22:57
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$
$\frac{9a^3}{b(2c+a)}+3b+(2c+a) \geq 9a \Rightarrow \sum \frac{9a^3}{b(2c+a)}+\sum 3a+\sum 2c+a \geq \sum 9a.$
$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b(2c+a)} \geq \frac{a+b+c}{3}=1.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:57
TT bài 13:
$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$
Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Mi=ọi người xem bài này có chỗ không hợp lí mà không ai phản biện à?
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$
12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$
13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$
14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$
15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$
16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$
bài 13:
$\sum \frac{a^{4}}{a(b+2c)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{1}{3}$
Áp dụng BĐT:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{2}$ và BĐT bunhiacopxki
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$
11) Áp dụng Cauchy 3 số:
$\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq 3.\frac{a}{4}$
cmtt...
$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3.\frac{a+b+c}{4}\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{3}{4}$
_________________________________
15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$
TT bài 13:
$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$
Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài này bị ngược dấu!!!
Mình xin làm bài 15.
$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{ab+bc+ca}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{a+c}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b}+1)+\sum \frac{a}{a+c}\geq \frac{15}{2}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}\geq \frac{15}{2}$(*)
Áp dụng Cauchy: $\Leftrightarrow \frac{c+a}{4a}+\frac{a}{a+c}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}\geq 3\Rightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}\geq 3+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}=3+\frac{3}{4}(3+\sum \frac{a}{b})\geq 3+\frac{3}{4}(3+3)=3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$
Vậy (*) được CM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-02-2014 - 23:57
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh