23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$
Bài 23:Ta có:$\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum bc}\geq \frac{9}{1+\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{27}{4}$
Các bạn làm thì viết lại đề nha, để mình không phải trích dẫn đề nữa.
23) Cách 2:
$\sum \frac{1}{a+bc}=\sum \frac{1}{1-b-c+bc}=\sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}$
Có: $\frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{27(1-b)}{8}+\frac{27(1-c)}{8}\geq 3.\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{\sum 54(1-a)}{8}\geq \frac{81}{4}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{27}{4}(3-a-b-c)\geq \frac{81}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$
Bài 24:Ta có:$\sum \frac{ab}{a+b+2c}=\sum \frac{ab}{(a+c)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{ab}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{bc}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum a)$
Ta có $\frac{ab}{a+b+2c}=\frac{ab}{(c+a)+(a+b)} \leq \frac{1}{4}.(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})$ (Cauchy dạng cộng mẫu số cho 2 số)
$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})=\frac{1}{4}.\sum a$
(cộng các phân số cùng mẫu lại và rút gọn)
$\Rightarrow$ đpcm
2 bài trên giống nhau và đều là bài 25
Daicagiangho1998 fix thành bài 25 đi.
24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$
24)
$a^3c+b^3a+c^3b=abc\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b}=1$
Áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu có:
$1=\sum \frac{a^2}{b}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a}=\sum \sum a$
Áp dụng lần 2: $\sum \frac{b}{a^2+ab}=\sum \frac{1}{\frac{a^2}{b}+a}\geq \frac{9}{\sum \frac{a^2}{b}+\sum a}\geq \frac{9}{1+1}=\frac{9}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 09:23