742 replies to this topic

[canhhoang30011999]

Mình là Viet Hoang 99 đây.

 

 

101) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a^4+a^2}\leq 1+\sum a^2$

 

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

 

103) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a\sqrt{ac}$

 

104) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}$

 

105) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}$. Tìm Min $A=x+y+z$

103

$a\sqrt{ac}\leq a\frac{a+c}{2}$$\Rightarrow \sum a\sqrt{ac}\leq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

lại có $\sum \frac{a^{3}}{b}\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq {(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}$

ta cần cm ${(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum a^{2})(\sum ab)$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum ab)^{2}$

nên ta có đpcm

Edited by Viet Hoang 99, 28-03-2014 - 18:04.

[lahantaithe99]

103

$a\sqrt{ac}\leq a\frac{a+c}{2}$$\Rightarrow \sum a\sqrt{ac}\leq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

lại có $\sum \frac{a^{3}}{b}\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq {(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}$

ta cần cm ${(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum a^{2})(\sum ab)$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum ab)^{2}$

nên ta có đpcm

Chỗ này là sao hả Hoàng????

[Kaito Kuroba]

105) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}$. Tìm Min $A=x+y+z$

105.

 

áp dụng AM-GM ta có: $\sqrt{xy}\leq \frac{x}{4}+y$

$\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{\frac{x}{4}+y+4z}{3}$

 

$\frac{4}{3}=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4(x+y+z)}{3}\Rightarrow x+y+z\geq 1$

Edited by Kaito Kuroba, 02-03-2014 - 22:31.

[pdtienArsFC]

Mình xin đóng góp ít bài  .

106) Cho a,b>0. Cmr: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

107) Cho a,b,c>0 t/m: abc=1. Cmr: $a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$

108) Cho a,b,c>0 t/m: $a^2+2b^2\leq 3c^2. Cmr: \frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

109) Cho a,b,c>0 t/m: $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

CMR: $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

110) Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=1. Cmr: $a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

[Kaito Kuroba]

Mình xin đóng góp ít bài  .

106) Cho a,b>0. Cmr: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

106.

 

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 2$

 

vì vai trò a,b như nhau nên ta chỉ cần chưng minh: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq 1;\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 1$ là OK!

 

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq b   (1)$

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq a    (2)$

 

từ (1) ,(2) ta được: $2\sqrt{ab}\leq a+b\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^2\geq 0$ (đúng)

Edited by Kaito Kuroba, 04-03-2014 - 21:50.

[Kaito Kuroba]

Mình xin đóng góp ít bài  .

108) Cho a,b,c>0 t/m: $a^2+2b^2\leq 3c^2. Cmr: \frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

 

 

108.

ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{3(a^2+2b^2)}\geq \frac{3}{c}$

Edited by Kaito Kuroba, 03-03-2014 - 18:31.

[angleofdarkness]

103

$a\sqrt{ac}\leq a\frac{a+c}{2}$$\Rightarrow \sum a\sqrt{ac}\leq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

lại có $\sum \frac{a^{3}}{b}\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq {(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}$

ta cần cm ${(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum a^{2})(\sum ab)$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum ab)^{2}$

nên ta có đpcm

 

Chỗ này là sao hả Hoàng????

 

Thiếu dấu = và thiếu phân thức, lẽ ra phải là $\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab} \geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum ab}$ (BĐT Schwarz)

[Kaito Kuroba]

110) Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=1. Cmr: $a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

 

áp dụng AM-GM ta có: $\sum a\sqrt[3]{1+b-c}=\sum \sqrt[3]{a^2(a+ab-ac)}\leq \sum \frac{3a+ab-ac}{3}=\frac{3(a+b+c)}{3}=1; "="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[lahantaithe99]

 

110) Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=1. Cmr: $a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

110

$VT=\sum a\sqrt[3]{1+b-c}=\sum a\sqrt[3]{a+2b}$

áp dụng bđt cô si ta có

$a\sqrt[3]{a+2b}\leq \frac{a(1+1+a+2b)}{3}=\frac{a^2+2ab+2a}{3}$

$\Rightarrow \sum a\sqrt[3]{a+2b}\leq \sum \frac{a^2+2ab+2a}{3}=\frac{(a+b+c)^2+2(a+b+c)}{3}=1$

[canhhoang30011999]

106.

 

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 2$

 

vì vai trò a,b như nhau nên ta chỉ cần chưng minh: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq 1;\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 1$ là OK!

 

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq b   (1)$

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}+a    (2)$

 

từ (1) ,(2) ta được: $2\sqrt{ab}\leq a+b\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^2\geq 0$ (đúng)

mình nghĩ bài này bạn giải có vđ vì từ  doạn tô màu ko thể suy ra (1) và (2)

[Kaito Kuroba]

mình nghĩ bài này bạn giải có vđ vì từ  doạn tô màu ko thể suy ra (1) và (2)

 

$\sqrt{ab}\leq a;\sqrt{ab}\leq b$

đây là điều mà ta cần chứng minh.

 

ta cộng 2 bdt lại ta được: $2\sqrt{ab}\leq a+b\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2\geq 0$ (đúng)

đây là cmpc đó ban!

[canhhoang30011999]

$\sqrt{ab}\leq a;\sqrt{ab}\leq b$

đây là điều mà ta cần chứng minh.

 

ta cộng 2 bdt lại ta được: $2\sqrt{ab}\leq a+b\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2\geq 0$ (đúng)

đây là cmpc đó ban!

ta cần cm $\sqrt{ab}\leq a,\sqrt{ab}\leq b$ nhưng từ $2\sqrt{ab}\leq a+b$ ta ko thể suya ra được $\sqrt{ab}\leq a,\sqrt{ab}\leq b$ nên bài toán vẫn chưa được giải quyết

ta có $\sqrt{\frac{a(a+b)}{(a+3b)(a+b)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\sqrt{\frac{2b}{2(a+3b)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{2b}{a+3b}+\frac{1}{2})$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

[BABY CUTE]

107,  Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn $\frac{1}{xy}$   +   $\frac{1}{yz}$   $\frac{1}{zx}$  >   0

Tìm GTNN của biểu thức S  =  $\frac{x^{2}}{yz}$    +    $\frac{y^{2}}{zx}$    +    $\frac{z^{2}}{xy}$

Edited by BABY CUTE, 06-03-2014 - 18:13.

[lahantaithe99]

107,  Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn $\frac{1}{xy}$   +   $\frac{1}{yz}$   $\frac{1}{zx}$  >   0

Tìm GTNN của biểu thức S  =  $\frac{x^{2}}{yz}$    +    $\frac{y^{2}}{zx}$    +    $\frac{z^{2}}{xy}$

Không biết có phải mk nhầm ko chứ mk nghĩ đk $\sum \frac{1}{xy}>0$ chả cần thiết

Theo bđt S.Vac

$S\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz}\geq 3$

(do có bđt quen thuộc là $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$

[lahantaithe99]

Mình xin đóng góp ít bài  .

 

109) Cho a,b,c>0 t/m: $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

CMR: $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

 

Từ giả thiết dễ dàng suy ra $a+b+c\geq 3\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq \frac{3}{a+b+c}(1)$

$GT\Leftrightarrow abc(a+b+c)\geq ab+bc+ac\Rightarrow \frac{2}{abc}\leq \frac{2(a+b+c)}{ab+bc+ac}$

Lại có $\frac{(ab+bc+ac)^2}{3}\geq abc(a+b+c)\geq ab+bc+ac\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3$

$\Rightarrow \frac{2}{abc}\leq \frac{2(a+b+c)}{ab+bc+ac}\leq \frac{2(a+b+c)}{3}(2)$

$(1);(2)$ suy ra đpcm

[nguyenhongsonk612]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

Cách khác C/m bài 52:

Ta cm $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 4$

Bình phương 2 vế và biến đổi về dạng:

$\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(c+a)}+\sqrt{(c+a)(a+b)}\geq a+b+c$

Có:

$\sqrt{(a+b)(b+c)}\geq b$$\Leftrightarrow ab+ac+b^{2}+bc\geq b^{2}$$\Leftrightarrow ab+ac+bc\geq0$( luôn đúng)

Tương tự ta có $\sqrt{(b+c)(c+a)}\geq c$ và $\sqrt{(c+a)(a+b)}\geq a$.

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được đpcm

Dấu bằng khi $a=b=0;c=4$ và các hoán vị

Còn CM $\leq 2\sqrt{6}$ thì dễ rồi!!

Edited by nguyenhongsonk612, 07-03-2014 - 18:08.

[hoahoalop9c]

Xin phép chủ pic , tớ hỏi 1 bài

Các bạn làm bài này chi tiết giúp tớ nhá !!!!!!!!!!!!!

Cho các số thực a;b thỏa mãn :
$ 0 < b < a \leq 2$ và $2ab \leq 2b+a$
Chứng minh rằng : $a^2 + b^2 \leq 5 $

Edited by hoahoalop9c, 08-03-2014 - 17:36.

[huukhangvn]

Xin phép chủ pic , tớ hỏi 1 bài

Các bạn làm bài này chi tiết giúp tớ nhá !!!!!!!!!!!!!

Cho các số thực a;b thỏa mãn :
$ 0 < b < a \leq 2$ và $2ab \leq 2b+a$
Chứng minh rằng : $a^2 + b^2 \leq 5 $

có maxkhi a=b hoặc a max

Tại a=b thì giá trị lớn nhất mà a,b có thể đạt là a=b=1,5

Khi đó a²+b²=1,5

Tại a max thì giá trị lớn nhất mà b có thể đạt là 1

Khi đó a²+b²=5

Vậy max a²+b² là 5 tại a=2,b=1

Edited by huukhangvn, 08-03-2014 - 19:04.

[25 minutes]

Xin phép chủ pic , tớ hỏi 1 bài

Các bạn làm bài này chi tiết giúp tớ nhá !!!!!!!!!!!!!

Cho các số thực a;b thỏa mãn :
$ 0 < b < a \leq 2$ và $2ab \leq 2b+a$
Chứng minh rằng : $a^2 + b^2 \leq 5 $

Từ giả thiết ta có $b=\frac{a}{2(a-1)}$$\Rightarrow a^2+b^2=a^2+\frac{a^2}{4(a-1)^2}$

Do đó ta cần chứng minh $a^2+\frac{a^2}{4(a-1)^2}\leqslant 5$

           $\Leftrightarrow (a-2)(4a^3-15a+10)\leqslant 0\Leftrightarrow 4a^3-15a+10\geqslant 0$

Nếu $a>\frac{3}{2}\Rightarrow 4a^3-15a+10>0$

Nếu $a<\frac{3}{2}\Rightarrow b<\frac{3}{2}\Rightarrow a^2+b^2<\frac{9}{2}<5$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=2 ,b=1$

Tại a max thì giá trị lớn nhất mà b có thể đạt là 1

Khi đó a²+b²=5

Vậy max a²+b² là 5 tại a=2,b=1

Định lí này ở đâu đấy, có lí do gì để $b \leqslant 1$ không ?

[huukhangvn]

thì tại a=2 thì b=1 là giá trị lớn nhất để 2ab$\leq$2b+a